Géométrie et topologie avec Thurston

Le Pommier, octobre 2013
160 p. en 14,5 × 22, prix : 19 € ISBN : 978-2-7465-0708-1

Cet ouvrage est dédié à William Thurston (1946-2012), médaillé Fields en 1982 pour avoir révolutionné la topologie en dimension 2 et 3 et fait avancer topologie et géométrie.

Détaillons son contenu :

• 1) Étienne Ghys, William Thurston
  clarté et compréhension
  L’apport des mathématiques à la compréhension du monde une nouvelle façon de communiquer sur les mathématiques. La conception des mathématiques de Thurston : les révolutions sont importantes mais elles sont rares et dépendent largement de la communauté des mathématiciens.
• 2) Christian Mercat
  De beaux entrelacs
  Épatez vos amis gothiques. Des objets bien concrets de la vie quotidienne, un thème qui fascine les jeunes aujourd’hui et qui peut être exploité dès le collège.
• 3) Luis Paris
  Les tresses : de la topologie à la cryptographie
  Des tresses aux noeuds ; des tresse aux mots. Décidabilité. Cryptosystèmes basés sur les tresses.
• 4) Patrick Popescu-Pampu
  La bande que « tout le monde connaît ». Apparition en 1858 (Listing, Möbius) ; construction ; relations avec l’environnement ; découpages. La bande dans les mathématiques contemporaines.
• 5) Julien Marché
  Triangulations : de la Terre au nœud de trèfle
  Construire et classer toutes les surfaces possibles. un tour de magie de Thurston : la triangulation de l’extérieur du noeud de trèfle. Cette construction fait l’objet d’une animation dans la version en ligne.
• 6) Étienne Ghys
  Les images comme symboles mathématiques
  Un débat entre ceux qui pensent comme Dieudonné qu’ « il serait désirable de libérer l’élève dès que possible de la camisole de force des figures traditionnelles en en parlant le moins possible » et ceux qui avec Hilbert ne « pourraient se passer de l’utilisation de formules graphiques », débat qui est d’actualité à la fois par la place de l’image dans notre société et par les possibilités extraordinaires des logiciels de création graphique.
• 7) Jos Leys
  Une chambre hyperbolique
  Comment un musée des sciences pourrait-il, grâce à un assemblage de miroirs cylindriques, donner aux visiteurs une idée concrète de la géométrie hyperbolique ? Pavages et polyèdres hyperboliques.
• 8) Étienne Ghys
  Géométriser l’espace
  De Gauss à Perelman, le théorème d’uniformisation a cent ans ! L’histoire simplifiée de la « conjecture de géométrisation de Thurston » dont la preuve valut au mathématicien russe Grigori Perelman en 2006 une médaille Fields qu’il refusa. Hipparque et Ptolémée (représenter le ciel étoilé sur un plan. Gauss (représentation conforme). Riemann et ses surfaces. Gauss encore (le plan hyperbolique). Poincaré (théorème d’uniformisation). Thurston (tout espace de dimension 3 peut être muni d’une métrique localement isométrique à l’une des huit géométries de Thurston).
• 9) Patrick Massot
  La conjecture de Poincaré
  Un résultat pressenti il y a un siècle, l’un des sept objets d’un prix d’un million de dollars offert par la fondation Clay, démontré en 2003 par Grigori Perelman. Propriétés géométriques et topologiques des variétés de dimension 3.
• 10) Arnaud Chéritat et Tan Lei
  Si nous faisions danser les racines ?
  Quelques observations sur le théorème de Gauss (1836) et Lucas (1874) qui affirme que l’enveloppe convexe des racines de tout polynôme P contient les racines du polynôme dérivé P’ (la version en ligne de l’article dispose d’une animation qui permet de déplacer les racines). une généralisation due à Thurston et des idées de démonstrations géométriques.

Systèmes dynamiques avec Poincaré

Le Pommier, octobre 2013
160 p. en 14,5 × 22, prix : 17€, ISBN : 978-2-7465-0707-4

2012 étant l’année du centenaire de la mort d’Henri Poincaré, il était normal que la collection lui consacre un volume éclairant alternativement les facettes étincelantes de sa personnalité et de son œuvre.

• 1) Laurent Rollet
  Des mathématiciens dans l’affaire Dreyfus ?
  Autoforgerie, bertillonnage et calcul des probabilités. Intervention dans l’ « Affaire » des mathématiciens français Andrade, Boutroux, Duhem, Hadamard, Hermite, Humbert, Jordan , Painlevé, et surtout analyse scientifique du bordereau par Poincaré, Darboux et Appell, condamnant sans appel les calculs de Bertillon.
• 2) Marie Lhuissier
  Quand les matheux jouent au billard.
  Billards circulaires et elliptiques. Théorème de Poncelet sur les retours à l’origine. Le principe de dualité. La distance hyperbolique,.
• 3) Frédéric Le Roux
  Le lemme des mariages
  Formulé par Hall en 1935, ce lemme donne une condition nécessaire et suffisante, pour que dans une société strictement monogame où tous les mariages sont décidés par un organisme central, il soit possible de marier tout le monde.
  Démonstrations matrimoniale et ensembliste. une famille d’applications quadratiques préservant les aires. Lien entre systèmes dynamiques topologiques et théorie ergodique.
• 4) Marie-Claude Arnaud et Patrick Massot
  L’anneau d’Henri Poincaré
  La démonstration inachevée d’un théorème sur les transformations continues d’un anneau (au sens topologique). Le problème restreint des trois corps. Recherches actuelles en topologie symplectique.
• 5) Aurélien Alvarez et Jean-Christophe Yoccoz
  Systèmes dynamiques et billards
  Tables circulaire, elliptique, rectangulaire, en L, un billard dispersif.
• 6) Laurent Rollet
  Génie et névropathie : le cas d’Henri Poincaré
  L’ « enquête médicopsychologique sur la supériorité intellectuelle », plus de 200 pages du psychologue et médecin Édouard Toulouse sur l’ensemble des tests effectués dans les années 1890 sur Henri Poincaré « névropathe de génie ».
• 7) François Béguin
  Le théorème de récurrence de Poincaré
  La danse des planètes. Les ellipses de Kepler. Que Newton soit ! Le germe de l’instabilité. Le siècle des lumières. Que Poincaré soit ! Naissance de la théorie ergodique. De la stabilité du système solaire aux nombres premiers.
• 8) Étienne Ghys
  L’histoire mouvementée des cycles limites
  Proies et prédateurs. Le « mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle ». Comportement d’une équation. Le 16e problème de Hilbert et les multiples rebondissements de son histoire.
• 9) Michèle Audin et Arnaud Chéritat
  Un ensemble-limite
  une figure dessinée à la main en 1897 et la même construite avec un ordinateur aujourd’hui ; figure obtenue par des inversions successives en partant de cinq cercles tangents chacun à deux ou trois autres.
• 10) Étienne Ghys
  Le mathématicien et le poète
  En 1883, l’académicien Sully Prudhomme recommande à l’examinateur de mathématiques au baccalauréat Henri Poincaré un jeune et timide candidat qui souhaite entrer à Polytechnique… 26 ans plus tard Henri Poincaré entre à l’Académie française où il occupe le fauteuil de Sully Prudhomme !

On le voit deux livres très riches par la variété des animations, des éclairages et des points de vue, par la solidité mathématique de l’édifice et dont la lecture enchantera un large public.