Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 513-1(Michel Lafond)
La fonction partie entière est notée $\lfloor ~: \rfloor$. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on pose

$$G_{n}=\prod\limits_{k=1}^{\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor}\left(3+2 \cos\left(\dfrac{2k\pi}{n+1}\right) \right).$$

Montrer que la suite $\left(G_{n}\right)_{n\ge 1}$ est la suite de Fibonacci.
 voir le BV où est publiée la solution

Problème 513-2
Trouver les fonctions $ f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dérivables telles qu’existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f’(x)=f(ax)$.
 voir le BV où est publiée la solution

Problème 513-3
Soit $ f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue telle que

$$ \dfrac{f(x)}{x}\xrightarrow [x\rightarrow 0]{} 1$$

et telle que, pour tous $x,y \in \mathbb{R}$ ,

$$f(x+y)\le f(x) +f(y).$$

Que dire ?
 voir le BV où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 495-1
Pour $n \in \mathbb{N}^*$ , on note classiquement $\mathcal{U}_{n}$ l’ensemble des racines $n$-ièmes de l’unité, à savoir l’ensemble des complexes $z$ tels que $z^{n} = 1$. Étudier, selon les valeurs de $n$, l’existence d’une application $ f :\mathcal{U}_{n} \rightarrow \mathcal{U}_{n}$ telle que, pour tout $z \in \mathcal{U}_{n}$,

$$f \circ f (z)= z^2.$$

 Solution et réponses de Maurice Bauval (Versailles), Hélène Brion (Clamart), Raymond
Heitz (Lavergne), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Jean Bruant, Raphaël Berthon

Remarque
Ce problème m’a été inspiré par le sujet du concours général de mathématiques de
2011. Il s’agit du troisième exercice, dans lequel on regarde quelques cas particuliers.
Pour d’autres compléments, la RMS a également publié un texte autour de ce
problème dans son numéro 125.1.

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