Les côtés d’un triangle ont pour longueurs $BC=a=39$, $CA=b=40$, $AB=c=25$. Vérifier que, dans ce triangle, l’angle $B$ est double de l’angle $C$. Plus généralement, quelle relation vérifient les côtés $a$, $b$, $c$, d’un triangle dont l’angle $B$ est double de l’angle $C$ ? On s’efforcera de ramener cette relation à sa forme la plus simple, qui est : $b^2=ac+c^2$

Sur un cercle de centre $C$ et de rayon $R$, on marque deux points diamétralement opposés $O$ et $A$. On mène par $O$ une sécante $OM$ faisant avec $OA$ un angle égal à $\varphi$, coupant le cercle en $M$ et la tangente en $A$ en $P$. \beginenumerate \item \’Evaluer, en fonction de $R$ et de $\varphi$, $OM$, $MP$, $AP$. \item La tangente en $M$ perce $AP$ en $T$ ; montrer que $AT=TP=TM$. \item La droite $CM$ perce $AP$ en $Q$ ; évaluer $PQ$ et $MQ$ en fonction de $\varphi$. \endenumerate (…)

Un triangle $abc$ dans le plan horizontal est déterminé comme il suit. Le pied $d$ de la hauteur issue de $a$ est entre $b$ et $c$, et l’on a : $bd=6,4$ ; $cd=3,6$, $ad=2,4$.
Ce triangle est la projection d’un triangle rectangle $Abc$ dont l’hypoténuse $bc$ est dans le plan de projection.
Calculer la hauteur $Ad$, la cote de $A$, l’aire du triangle $Abc$, l’angle du plan du triangle avec le plan de projection et les côtés de l’angle droit du triangle.