Plier pour créer

L’origami et les pliages en général sont, pour un public très large, surtout un moyen de créer, de fabriquer de beaux objets, sans forcément se poser des questions mathématiques. À partir du mois de novembre, des « défis » de pliages ont été proposés par les professeures documentalistes au CDI, les ressources sont toujours disponibles en ligne.

Dans le même temps, les élèves qui suivaient l’option arts plastiques ont œuvré pour préparer une exposition pour la Semaine des Maths, et la construction collaborative d’une pyramide de Sierpinski a été lancée.

Plier pour construire

Au-delà du caractère décoratif des objets créés en origami, les questions de constructibilité ont rapidement chatouillé notre curiosité.

La lecture du Hors Série n° 78 du magazine Tangente (La géométrie de la règle et du compas), du n° 57 de Tangente Éducation (Les maths à portée de main) et d’un article d’Anne-Marie Aebischer dans Au Fil des Maths — Le Bulletin de l’APMEP n° 532 (« Des origamis en cours de math ») ont alimenté nos premières discussions.

Nous tenions une idée pour reprendre une organisation similaire aux autres années : les midis de la Semaine des Maths, on s’installe dans le hall d’entrée du lycée et on propose des animations courtes aux volontaires… Voilà la liste des défis proposés, dans le contexte de l’origami où l’instruction « construire » veut dire « par pliage uniquement » :

1. à partir de deux points $A$ et $B$ donnés sur une feuille de papier,
   construire l’image du point $A$ par la symétrie de centre $B$ (3 plis, piste verte)
2. à partir d’un point $A$ et d’une droite ne passant pas par $A$,
   construire le point symétrique de $A$ par rapport à la droite (4 plis, piste verte)
3. à partir de deux points $A$ et $B$ donnés sur une feuille de papier,
   construire le point $C$ tel que $ABC$ soit un triangle équilatéral (4 plis, piste bleue)
4. à partir de deux points $A$ et $B$ donnés sur une feuille de papier,
   construire le point $C$ tel que $ABC$ soit un triangle rectangle isocèle en $A$ (4 plis, piste bleue)
5. à partir deux points $A$ et $B$ donnés sur une feuille de papier,
   construire (par pliage uniquement), un carré de côté $[AB]$ (4 plis, piste bleue)
6. à partir de deux points $A$ et $B$ donnés sur une feuille de papier,
   construire (par pliage uniquement), un carré de diagonale $[AB]$ (4 plis, piste bleue)
7. à partir de trois points $A$, $B$ et $C$ donnés,
   construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ (6 plis, piste rouge)
8. à partir de deux points $A$ et $B$ donnés sur une feuille de papier,
   construire un hexagone de côté $[AB]$ (7 plis, piste noire)
9. à partir de deux points $A$ et $B$ donnés sur une feuille de papier,
   construire un pentagone de côté $[AB]$

Ce dernier défi est particulièrement résistant et fait l’objet d’un article sur ce site, préparé par Myriam Verdure, professeure de mathématiques en classe préparatoire MP. Myriam a aussi présenté pendant la Semaine des Maths une conférence sur la duplication du cube, illustrant ainsi que la constructibilité en origami est plus forte que la constructibilité à la règle et au compas.

Conclusion

Le thème de l’origami a été un prétexte motivant pour faire des mathématiques ensemble, entre professeurs avant tout, puis avec les élèves. La plupart d’entre nous ont découvert cette géométrie particulière et ses questions spécifiques. Cela nous a aussi permis de revisiter des notions géométriques de collège (Thalès, Pythagore, propriétés des triangles semblables).

En dehors des sources déjà citées, nous avons consulté un article de Marie Hézard dans Quadrature n°116 « Construisons et colorions un dodécaèdre », un article de Jean-Paul Delahaye dans Pour la science n°448 « Les mathématiques de l’origami », une conférence du cycle « Un texte un mathématicien » (SMF, BNF, Animath) par Tadashi Tokieda … et avons utilisé plusieurs des ressources et posters des Sorciers de Salem.

Au moment où j’écris ces lignes, je viens de recevoir le n°207 du magazine Tangente dans lequel se trouve un dossier intitulé « La géométrie de l’origami. Axiomes, algorithmes et… théorèmes ! ». Ce thème sera aussi présent dans des ateliers aux Journées nationales à Jonzac.