Construction du pentagone régulier par origami
L’origami est l’art du pliage du papier, originaire du Japon. L’idée de cette activité (développée pendant la semaine des maths, vous pouvez en savoir plus sur le contexte dans cet autre article) est d’utiliser le pliage du papier pour obtenir, après l’avoir déplié, le dessin d’une figure géométrique marquée par les plis.
Règle du jeu : on dispose d’une feuille de papier de taille quelconque sur laquelle sont placés 2 points $A$ et $B$.
But : construire par pliage un pentagone régulier $ABCDE$ .
Pour construire par pliage, il est nécessaire d’assurer une certaine précision dans la réalisation des plis. Pour cela, seulement six types de plis sont autorisés, ils définissent la géométrie de l’origami. Nous commençons par décrire les plis en expliquant la construction mathématique qui en découle. Puis nous donnons un algorithme de construction du pentagone régulier à partir de ces plis.
Règles de construction de l’origami
Pour chaque pli, on indique l’objet géométrique qui lui correspond. On décrit ensuite la technique de pliage par une série d’étapes, le pli obtenu est représenté par une droite en pointillé sur le dernier dessin.
- Pli $D$ : un unique pli passe par deux points $A$ et $B$ .
Le pli $D$ est la droite $(AB)$.
Technique de pliage :
- Pli $M$ : un unique pli superpose deux points donnés.
Le pli $M$ est la médiatrice de $[AB]$.
Technique de pliage :
- Pli $B$ : il existe un pli qui superpose deux droites sécantes $\Delta_1$ et $\Delta_2$ .
Le pli $B$ est une des deux bissectrices de $\Delta_1$ et $\Delta_2$ .
Technique de pliage :
- Pli $P$ : un unique pli passe par le point $A$ et est perpendiculaire à la droite $\Delta$.
On obtient la droite perpendiculaire à $\Delta$ passant par $A$. $A$ peut être situé sur la droite $\Delta$.
Technique de pliage :
- Pli $C$ : un pli, s’il existe, passe par le point $A$ et amène le point $B$ sur la droite $\Delta$.
Le point $B_1$ sur $\Delta$ obtenu en amenant $B$ sur $\Delta$ est un point d’intersection de la droite $\Delta$ avec le cercle de entre $A$ et de rayon $AB$ . On voit le point $B_1$ par superposition, mais il est nécessaire de marquer ce point par un deuxième pli $P_1$ passant par $B_1$ (peu importe sa direction).
Technique de pliage :
- Pli $O$ : Un pli, s’il existe, amène le point $A_1$ sur la droite $\Delta_1$ et amène le point $A_2$ sur la droite $\Delta_2$ .
Le pli $O$ est la tangente commune aux deux paraboles $P_1$ et$ _P$2 de foyers respectifs $A_1$ et $A_2$ , et de directrices respectives $\Delta_1$ et $\Delta_2$ . Cette droite ne peut être obtenue par construction à la règle et au compas. C’est ce pli qui permet de construire par origami des objets mathématiques non constructibles à la règle et au compas comme $\sqrt[3]{2}$.
Technique de pliage :
Ce dernier pli $O$ spécifique à la construction par pliage ne sera pas utilisé pour la construction du pentagone régulier. En effet, le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas. Dans une construction par pliage, nous n’utiliserons que les cinq premiers plis.
Construction du pentagone régulier
par pliage à partir d’un côté $[AB]$
Description de la construction en 3 étapes :
- construction du nombre d’or $\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
- construction du triangle $ABD$ isocèle en $D$, grâce à la relation : $AD = \Phi\times AB$ (propriété du pentagone régulier)
- construction des deux derniers points $C$ et $E$ du pentagone, par propriétés de symétrie.
Étape 1 : construction du nombre d’or $\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
- Construction du carré $ABGF$ :
- un pli $D$ pour avoir la droite $(AB)$
- un pli $P$ pour avoir la droite $(AF)$
perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$ - un pli $P$ pour avoir la droite $(BG)$
perpendiculaire à $(AB)$ passant par $B$ - un pli $B$ pour construire la diagonale $(AG)$
$(AG)$ est la bissectrice de $(AB)$ et $(AF)$ - $G$ est alors le point d’intersection des deux derniers plis
- Construction du point $I$ de la droite $(AB)$ tel que $AI = \Phi\times AB$ :
- un pli $M$ pour avoir le milieu $H$ et la médiatrice $\Delta$ de $[AB]$
- un pli $C$ pour amener le point $G$ sur la droite $(AB)$
- On marque alors le point obtenu $I$ par un pli quelconque
La relation $HI = HG$ et l’application du théorème de Pythagore sur le triangle $BHG$ permettent de montrer que $AI = \Phi\times AB$.
Étape 2 : construction du triangle $ABD$ isocèle en $D$
On oublie les points $F$ et $G$ tracés précédemment.
À partir des points $A$, $B$, $I$ et de la droite $\Delta$ :
- un pli $C$ passant par $A$ et amenant $I$ sur $\Delta$ pour avoir le point $D$
on marque le point $D$ par un pli quelconque - un pli $D$ pour avoir la droite $(AD)$
- un pli $D$ pour avoir la droite $(BD)$
La longueur $AD$ vaut $\Phi \times AB$.
Étape 3 : construction des deux derniers points $C$ et $E$ du pentagone
À partir du triangle isocèle $ADB$ :
- un pli $M$ pour avoir la médiatrice de $(BD)$, notée $\Gamma$
- un pli $C$ passant par $B$ pour amener $A$ sur $\Gamma$
on marque le point $C$ obtenu par un pli quelconque - un pli $P$ pour avoir la perpendiculaire à $\Gamma$ passant par $C$
- un pli $M$ pour avoir la médiatrice de $(AD)$
- Le point $E$ est à l’intersection des deux derniers plis.
Et le polygone $ABCDE$ est un pentagone régulier.
