Dans le bulletin de l’APMEP n°480 p 60, Louis Rivoallan a formulé une conjecture relativement à la fonction $Q$ définie par $Q(M)$ = aire($O_aO_bO_c$)/aire($ABC$), où $M$ est un point du plan $ABC$ distinct de $A$, $B$, $C$ et $O_a$, $O_b$, $O_c$ sont les centres respectifs des cercles circonscrits à $(MBC)$, $(MCA)$ et $(MAB)$.

J’ai démontré que l’ensemble des points $M$ tels que $Q(M)=|k|$ (ou $Q(M)=µ \mu$en aires algébriques) sont des quartiques bicirculaires $(L_k)$ ou $(L_\mu)$. Cette étude a été reprise et publiée dans le BV 491 p. 724. Dans les deux versions $(L_k)$ ou $(L_\mu)$ sont définies analytiquement, mais avec des repères différents, et construites à l’aide d’un paramétrage obtenu en coupant les courbes par une droite pivotant autour de $A$.

N’étant pas très satisfait de la construction obtenue, j’ai trouvé un dessin de $(L_k)$ simple rapide et peu calculatoire et qui de plus met en évidence l’orthocentre $H$ de $(ABC)$ (on savait déjà que $(L_1)={H}$).
.
Avec GeoGebra la construction est facile (cf « dessin F.D. ($L_k$) et $H$ ») :

Fichiers Geogebra complémentaires