Mathématiques constructives

Henri Lombardi

Cf – DI – 1

Maître de Conférence à l’Université de Franche-Comté, département de mathématiques, âgé de 62 ans.
Peu adepte du formalisme bourbakiste dominant en France, il a commencé à faire de la recherche après la lecture du livre de Bishop, lecture qui lui a montré que, contrairement à ce que disait Hilbert, Cantor n’était pas le Paradis, et Brouwer n’était pas l’Enfer.
Ses thèmes de recherche sont l’algèbre réelle, les mathématiques constructives, la théorie de la complexité algorithmique.
Il fait partie des fondateurs du groupe M.A.P. (Mathematics-Algorithm-Proofs) créé en 2003, dont la page web est à http://www.disi.unige.it/map/.

Au tournant du 20ème siècle, les mathématiques sont devenues "ensemblistes" (à la Cantor) et non constructives, notamment sous l’impulsion de Hilbert. Elles ont connu un développement extraordinaire dans ce cadre, au prix de perdre une partie de leur substance. Le programme de Hilbert et celui de Poincaré pour remédier à cette perte de sens sont un peu tombés dans l’oubli. On a même pensé un moment que le théorème d’incomplétude de Gödel vidait le programme de Hilbert de sa pertinence, alors qu’il en déplaçait seulement la perspective. La critique du Principe du Tiers Exclu par Brouwer n’a été pleinement appréciée à sa juste valeur que récemment. Le livre d’Erret Bishop "Foundations of constructive analysis" paru en 1967, a montré quelles merveilles on pouvait obtenir par la prise en compte systématique de la critique de Brouwer. Aujourd’hui, mathématiques classiques et constructives sont presque réconciliées, comme le montre le livre de Gilles Dowek, "Les métamorphoses du calcul", paru en 2007.

Le but de la conférence est de développer ce survol historique et d’expliquer le renouveau actuel du point de vue constructif.

La géométrie des pixels

Eric Andres

Cf – DI – 2

Professeur des Universités en informatique au laboratoire XLIM-SIC de l’Université de Poitiers, chef de l’équipe Informatique Graphique du laboratoire.
Le thème de recherche principal d’Eric Andres a été, ces dernières années, la mise au point de modèles analytiques pour décrire les objets dans l’espace discret.
Il s’intéresse à présent aux opérations dans le monde discret, aux rapports entre la géométrie discrète et la géométrie classique et aux applications en imagerie médicale, en informatique temps réel, en analyse et synthèse d’images, etc.

Nous sommes aujourd’hui entourés d’images numériques : télévision, photographie, scanner... mais peu de gens sont conscients du fait que la géométrie du monde des pixels est une géométrie bien étrange. Prenons, par exemple, les deux diagonales principales d’un échiquier qui forment des droites dans l’espace des pixels. Ces deux droites en dimension deux sont orthogonales et pourtant elles n’ont pas d’intersection. Aucun pixel n’est à la fois blanc et noir et deux fous qui se promènent sur ces diagonales ne font que se croiser sans jamais partager une case commune. Avec cet exemple et d’autres, nous allons, durant cette conférence, illustrer le caractère étrange de la géométrie des pixels. Nous montrerons comment on peut faire des fractals avec de simples divisions entières et les conséquences que cela a sur le calcul dans les ordinateurs. Evidemment il est, malgré tout, possible de travailler avec les images. Nous montrerons comment construire des objets dans l’espace des pixels et comment le lien avec la géométrie classique peut se faire.

La place des grandeurs dans la construction des mathématiques

André Pressiat

Cf – DI – 3

Docteur en didactique des mathématiques.
IUFM Centre Val de Loire
Equipe DIDIREM, Université Paris 7 Denis Diderot
Recherches majeures ou thèmes de recherches : enseignement de l’algèbre au collège (co-auteur de la brochure INRP "Les débuts de l’algèbre au collège"), didactique de la géométrie.

Les grandeurs tiennent une place importante dans l’histoire des mathématiques, depuis l’époque grecque jusqu’à nos jours. La première partie de la conférence aura pour but de retracer les principales étapes de cette histoire, en soulignant pour chacune d’elles la place et le rôle respectifs des grandeurs et des nombres. S’intéressant à l’enseignement des mathématiques à l’école et au collège, la deuxième partie s’attachera à mettre en valeur la nécessité de connaissances sur les grandeurs qui sont souvent peu explicitées. Ces connaissances sont indispensables pour l’étude de la mesure des grandeurs, mais également pour articuler le calcul numérique ou algébrique avec l’étude des relations entre les grandeurs, comme l’illustreront des exemples pris dans divers domaines des mathématiques.

Vauban et ses maîtres : la construction géométrique de la sécurité

Frédéric Métin

Cf – DI – 4

Professeur de mathématiques au lycée "Le Castel" à Dijon. Militant à l’IREM de Dijon et à la Commission inter-IREM « Epistémologie et Histoire des Mathématiques ». Prépare un doctorat en Histoire et Philosophie des Mathématiques. Thèmes de recherche centrés sur les mathématiques pratiques de la Renaissance (arithmétique commerciale, géométrie de la mesure, jaugeage, arpentage, etc.) et la Fortification.

L’année Vauban aura contribué à valoriser le patrimoine souvent négligé (car peu prisé du public) des citadelles et ouvrages fortifiés, dont la région de La Rochelle présente de nombreux exemples intéressants. Mais le grand public ne voit pas en général que ces ouvrages reposent sur des fondations mathématiques ! Une façon de s’en convaincre est de consulter les plans de ces imposants bâtiments, disons plutôt : de les regarder depuis le ciel ; une autre possibilité est la lecture des ouvrages des fortificateurs, dont les cahiers des charges contiennent toutes sortes de maximes familières aux professeurs de mathématiques, voire certaines démonstrations qui pourraient les occuper un moment... L’objet de la conférence est de permettre aux participants de saisir le rôle des mathématiques dans la sécurisation des places, mais comme Vauban a été très discret sur ses propres méthodes, il sera nécessaire de se pencher sur les traités de ses prédécesseurs. En outre, pour tous les visuels de l’assemblée, une visite aérienne (virtuelle, bien sûr) de quelques sites de la Généralité de La Rochelle (et au-delà) illustrera le propos.