Bravo pour cette étude [1] – mathématique et psychologique – invitant les jeunes (et les autres aussi) à méditer sur le pouvoir, mais aussi les limites de ces machines fabriquées par l’Homme [2] , destinées à servir l’Homme, mais qui doivent, en tout état de cause, rester sous le contrôle de l’Homme.

Je voulais simplement suggérer qu’on pourrait rajouter, dans le paragraphe « … Les raisonnements qu’aucun élève n’a faits … » (p. 299), les méthodes basées sur les congruences permettant des vérifications et parfois des solutions. La méthode portant « sur les chiffres des unités » citée dans le paragraphe en est d’ailleurs une (modulo 10). Il s’agit de calculer le nombre A ′ congru à A modulo 10 en substituant respectivement à x et à y leur congru respectif, en l’occurrence 4 et 7. On trouve A ′ = 1. C’est d’ailleurs le chiffre des unités de A si ce dernier est positif, 9 dans le cas contraire.

Ce premier résultat élimine donc à coup sûr les solutions (1) et (3), mais ne prouve pas, bien entendu, que la solution (2) est exacte. Cependant, si elle l’était – et chacun sait que « toute déclaration d’élève doit être présumée exacte avant d’être éventuellement reconnue fausse » ! –, il serait possible de le prouver à l’aide des congruences de la manière suivante :
Soit p un naturel premier. On calcule le nombre A ′ congru à A (modulo p). Si la solution (2) est exacte, on doit trouver A ′ = 1, quel que soit l’entier p premier choisi. Alors A − 1 est congru à 0 (modulo p), autrement dit A − 1 est divisible par p.

On fait successivement ce raisonnement par exemple pour les premiers nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, … Et ça marche : à chaque fois A ′ = 1. A étant congru à 1, A − 1 est divisible par 2, 3, 5, 7, 11, …. séparément. Ceux-ci étant premiers, ils sont donc premiers entr’eux deux à deux et A − 1 est divisible par leur produit [3].
On fait en sorte que ce produit soit supérieur à un majorant simple de A, par exemple $10^{20}$ qui en est un. Il suffit de prendre les entiers premiers jusqu’à 59 : $2 × 3 × 5 × 7 × … × 59 1,9 × 10^{21}$ .

A − 1 est donc divisible par un nombre plus grand que lui en valeur absolue. Il ne peut être égal qu’à 0. Et A est égal à 1.