On en parle, on les invoque, on les redoute, on les critique, mais que signifie l’expression « mathématiques du citoyen » ?

La question de base est évidemment : en 2015, quel bagage mathématique un individu doit-il posséder à la sortie de l’école obligatoire ? Doit-il savoir utiliser la réciproque de la propriété de Pythagore ? Doit-il savoir effectuer des calculs algébriques avec des racines carrées ? Doit-il savoir factoriser une expression littérale ? On pourrait poser bien d’autres questions du même type et l’on sent bien que les réponses ne sont pas simples. Si l’on en reste sur le plan des connaissances, il va être difficile de savoir ce qu’il faut éliminer, et ce qu’il faut privilégier.

D’une façon provocatrice, certains diront que la proportionnalité suffit. Admettons cela pour l’instant. Nous avons tous rencontré des élèves sérieux qui connaissaient parfaitement les coefficients de proportionnalité, qui même avaient fait le lien entre proportionnalité et droite… Combien de fois avons-nous été déçus quand cet élève reste coi devant la question classique : on augmente le prix d’un produit de 20 % puis on baisse à nouveau ce second prix de 20 %. Le nouveau prix est-il identique au prix initial ? Évidemment, si l’on parle de coefficients multiplicateurs, il se peut que notre élève parvienne à répondre. S’il a un peu plus de difficultés, il faudra lui proposer quelques exemples du même type. En reconnaissant la situation proposée, il sera capable de trouver la solution.

Le problème est que, dans les situations du monde, celles que rencontre tout individu dans sa vie sociale, la modélisation n’est pas donnée. Il n’y a pas d’énoncé. Bien sûr, dès qu’il y a des chiffres, chacun perçoit que les mathématiques ne sont pas bien loin. Mais lesquelles ? Quelle mathématisation est pertinente ? Quel modèle nous permettra de répondre au problème posé par la situation ?

Une fois ce travail accompli, les mathématiques se réduisent à un outil pour obtenir des résultats interprétables. Mais, évidemment, l’essentiel de la démarche mathématique n’est pas dans cette dernière phase.
Prenons un exemple classique : les statistiques. Elles sont souvent invoquées comme le prototype des mathématiques du citoyen. Si, devant une série de données, l’activité de l’élève se réduit à calculer une moyenne ou une médiane et celle de l’enseignant à voir si le résultat rendu est correct, il n’y a aucune chance que, quelques années plus tard, ce même élève devenu un individu social puisse avoir une approche réfléchie devant une série de nombres. Et l’on regrettera alors les manipulations politiques ou médiatiques permises par cette ignorance. Et l’on parlera aussi d’échec de l’école.

Avoir des connaissances est indispensable mais ne suffit pas, il faut également être capable de les mettre en situation. Le texte qui accompagne le cadre d’évaluation de l’enquête PISA 2012 est sur ce point d’une extrême clarté.
En voici le lien : ici

Il ne s’agit pas de rentrer dans la polémique « pour ou contre PISA ». Je ne parlerai pas ici des objectifs « cachés » de PISA. D’autres, plus habitués que moi à déceler le dessous des choses, l’ont fait avant moi. Mais la définition de la « culture mathématique » selon ce texte touche au cœur de notre question sur les mathématiques du citoyen.

Je ne reproduirai ici que quelques fragments d’un long passage d’une grande richesse.

Comprendre les mathématiques est essentiel pour préparer les jeunes à vivre dans une société moderne. Il faut s’appuyer sur un certain degré de compréhension des mathématiques et sur des facultés de raisonnement mathématique et d’utilisation des mathématiques pour pouvoir appréhender un nombre croissant de situations et de problèmes qui surviennent dans la vie courante, y compris dans le cadre professionnel, et pouvoir y faire face.

La culture mathématique est alors définie de la façon suivante :
La culture mathématique est l’aptitude d’un individu à formuler, employer et interpréter des mathématiques dans un éventail de contextes, soit de se livrer à un raisonnement mathématique et d’utiliser des concepts, procédures, faits et outils mathématiques pour décrire, expliquer et prévoir des phénomènes. Elle aide les individus à comprendre le rôle que les mathématiques jouent dans le monde et à se comporter en citoyens constructifs, engagés et réfléchis, c’est-à-dire à poser des jugements et à prendre des décisions en toute connaissance de cause.

Nous voyons que la culture mathématique se définit ainsi en termes de compétences (s’appuyant évidemment sur des connaissances). Notre enseignement prépare-t-il efficacement à l’acquisition de ces compétences ?

Elles sont bien loin de se résumer à un habillage concret (et souvent pseudo-concret) de problématiques intra mathématiques comme, par exemple, la présentation des nombres relatifs et de l’ordre sur la droite réelle à partir des températures. Elles ne se réduisent pas à des manipulations algébriques ou des constructions géométriques. Bien entendu, elles se construisent sur une certaine maitrise de ces outils mathématiques, ce qui laisserait supposer qu’il faut commencer par leur enseignement. Pourtant, il est évident que ces outils ne prennent du sens qu’au travers des situations du monde qui les feront vivre. Sans elles, ils restent à proprement parler « insensés ».

S’il y a bien un niveau qui doit impérativement monter, c’est celui de l’acquisition de ces compétences. L’autre, celui dont parlent certains, ne concerne en grande partie que des connaissances largement inutiles pour la grande majorité de nos élèves, car de fait inutilisables. Évidemment, une certaine élite, gavée de connaissances et de formules, parviendra un jour à en tirer la substantifique moelle. Et encore, dans des situations bien répertoriées ! Je me suis laissé dire que pas mal d’étudiants en mathématiques auraient des difficultés, sans aucun document, à calculer le montant d’une mensualité (constante) dans un prêt sur années d’un montant de euros à un taux annuel de %... Et pourtant, dans notre société, qui ne fait pas de prêt ? J’espère que cette anecdote est fausse !

Relever le défi d’enseigner les mathématiques du citoyen, apporter à tous cette culture mathématique dont nous parle le rapport PISA, implique sans aucun doute de profonds bouleversements. Ils seront couteux pour les professeurs parce qu’ils vont leur demander un changement de perspective sur les contenus et les méthodes. Mais, du côté des élèves aussi, cela ne se fera pas sans mal. Le premier des trois verbes que l’on trouve au début de la phrase citée plus haut est « formuler ». S’il renvoie à la notion de « formule », ce n’est pas sur le plan mathématique qu’il faut l’entendre. L’appréhension d’une situation du monde se présente d’abord sous la forme de mots. Elle nécessite une certaine maitrise du langage, sans doute beaucoup plus fine que celle exigée par la manipulation de … formules pour le coup mathématiques. C’est ce qui est sans doute révélé dans la corrélation entre l’échec en maths dans les évaluations PISA et CEDRE et l’origine socio-culturelle des élèves, corrélation qui ne semblait pas évidente jusque-là.
Les difficultés qu’éprouvent les élèves (et parfois leurs professeurs) en probabilités sont de même nature. Il est d’ailleurs symptomatique d’entendre chez un certain nombre d’enseignants que les probabilités « ne sont pas des mathématiques ». Cela traduit une certaine incompréhension du fait que la pertinence de la démarche mathématique réside beaucoup dans le passage du concret à l’abstrait et, comme le dit le rapport PISA, dans la mise en évidence de l’importance de bien comprendre des concepts de mathématiques pures et de se rendre compte des avantages qu’il y a à s’engager dans l’exploration du monde abstrait des mathématiques. La richesse de l’enseignement des probabilités est justement là, dans ce passage obligatoire d’un réel qui semble aller de soi à des concepts abstraits permettant du coup de l’éclairer, puis de l’interpréter.

Article mis en ligne par GC