Personnaliser l’enseignement : Développer l’intériorité mathématicienne de l’élève

Ce qui me frappe souvent chez les élèves pour qui les mathématiques sont un obstacle, c’est leur croyance en la nécessité de trouver quelque chose hors d’eux-mêmes (la méthode, la formule, la solution, le truc) comme démarche essentielle à la réussite mathématique ; le manque (de bases, de dons, de connaissances) est à leurs yeux une explication de leurs difficultés, le « c’est trop abstrait » marquant souvent cette coupure de soi avec les mathématiques.

Je donne la parole à Dominique Hoppenot, professeur de violon [1] dans son livre «  Le violon intérieur », et j’invite le lecteur à transposer ce texte dans le domaine de l’enseignement des mathématiques [2] . : «  La justesse instrumentale requiert essentiellement la coïncidence de deux types d’oreilles, l’oreille extérieure – celle que l’on nomme habituellement “l’oreille” et l’oreille intérieure - que l’on ne nomme pas pour la bonne raison qu’elle est ignorée de la plupart des violonistes. Celle-ci consiste à reproduire mentalement le discours musical, par la seule puissance d’évocation et de suggestion de l’image auditive. Elle nous permet d’élaborer nos intervalles, de les construire avant même de les jouer, de leur donner vie en nous, avant de leur prêter une existence extérieure. (…) Une fausse note ne peut donc être corrigée efficacement que si l’on établit une comparaison entre “la note intérieure” que l’on voulait entendre et la “note extérieure” qui a été entendue. Les élèves qui poussent leurs doigts en avant ou en arrière parce qu’on leur crie “plus haut” ou “plus bas” ou parce qu’ils aperçoivent de grands cercles rouges sur leurs partitions, ne font pas un travail efficace.

Lorsqu’ils ont exercé correctement leur oreille mentale, ils n’ont besoin de personne pour leur dire que c’est “trop haut !”. Ils le savent et peuvent y remédier utilement. »

Il me paraît possible et vraiment souhaitable que chaque élève développe en mathématiques une sorte « d’oreille intérieure », développe une attention à des phénomènes intérieurs (mémoire, images mentales, discours internes, utilisation de mouvements - par exemple mains ou doigts -, alliances de mots, alliances de mots et de schémas, alliances de situations, émotions - récits anecdotiques par exemple -). Une activité du professeur consiste à les suggérer, à les expliciter, à leur donner vie, dans des circonstances variées, en les reliant aux idées mathématiques.

Les exercices, les entraînements, ne fonctionnent plus alors sur un mode binaire : vrai/faux, je sais/je ne sais pas, je fais/ je ne fais pas. D’autres enjeux prennent sens. En voici des exemples : appréhender physiquement une situation (l’incorporer, l’imaginer, la représenter) ; s’appuyer sur des analogies ; enrichir librement une situation donnée en supplément de toute question éventuellement déjà posée ; simplifier une situation quitte à la transformer de façon intentionnellement malhonnête pour faire apparaître du familier.

Ainsi, personnaliser l’enseignement, c’est révéler, confirmer les ressources internes de chaque personne, mobilisées dans la diversité du travail mathématique. (Cela concerne toutes sortes de points mathématiques, par exemple la maîtrise d’un petit calcul, la lecture d’une figure, le « faire parler une formule », l’analyse de l’utilisation de lettres, l’extraction d’une idée forte en comparaison de détails, la recherche de « détrompeurs » pour contrôler un résultat donné de mémoire, etc.) Pour m’y essayer, je sais que cela est difficile, les signes d’efficacité ne sont pas toujours clairement identifiables à court terme, cela demande de la patience et une certaine volonté d’improvisation dans la relation aux élèves.

Si le développement de l’intériorité mathématicienne était reconnu comme un axe fort du travail scolaire, ne serait-il pas plus facile de critiquer des oppositions non fondées entre les arts et les sciences ? Ne serait-il pas plus crédible de parler à propos des vertus de l’enseignement des mathématiques du développement de l’esprit critique, de l’imagination, de la créativité ?