Les incompétences algébriques

Je me suis trouvée désarmée l’année dernière devant les « incompétences » algébriques de mes élèves de terminale Électrotechnique. C’est une section STI dont le programme de mathématiques est conséquent. La partie algébrique est très proche du programme de S. Au mois de novembre, mois des brumes matinales, je me suis retrouvée en train d’expliquer à mes élèves que la fonction logarithme transformait un produit en somme, c’est-à-dire que pour tout nombre $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln{ab} = \ln{a} + \ln{b}$. J’ai donc fait figurer à la suite de cette formule, en exemple, pour commencer en douceur et ne pas traumatiser mes chers petits, $\ln{12} =$ ? Et là, stupeur, un élève me demande « si c’est 1 × 2 ou 12 ? » ! Je dois avouer que je suis restée sans voix. Qu’un élève puisse poser cette question en toute bonne foi en classe de terminale m’a désarçonnée !

Dans ce genre de situation, Jean-Pierre Richeton parle de « brouillard algébrique ». Dans cette classe de STI, le brouillard était tellement épais qu’il a fortement handicapé pour l’apprentissage des notions nouvelles de terminale. Les notions étaient comprises mais ne pouvaient être utilisées à cause de ces incompétences.

Je me suis rendu compte à plusieurs reprises qu’en fait les « raccourcis » algébriques n’étaient pas assimilés. Entre deux lettres comme ${a}$ et ${b}$, le signe multiplié ne s’écrit pas, ce qui donne ${ab}$. Mais dans l’écriture des nombres, c’est le signe $+$ que l’on n’écrit pas quand le nombre est positif. Cette confusion dans les raccourcis a conduit des élèves à écrire par exemple $2 + x = 2x$. Ces erreurs étaient particulièrement pénalisantes dans les calculs de dérivées.

Pourtant le calcul littéral apparaît dans les programmes dès la classe de cinquième. Des égalités telles que $5(x + 1) = 5x + 5$ ou $5(3x − 4) = 15x − 20$ sont travaillées. C’est également en cinquième que la convention ${bc}$ apparaît pour ${b × c}$. Mais, dans le programme de quatrième, on peut lire « l’apprentissage du calcul littéral doit être conduit très progressivement à partir de situations qui permettent aux élèves de donner du sens à ce type de calculs. … les situations proposées doivent exclure tout type de virtuosité. ». Et ce sont des consignes de ce type que l’on retrouvera tout au long des années, dans les programmes, à la rubrique calcul algébrique. Dans les discussions que nous avons avec l’inspection générale sur le temps d’apprentissage, elle insiste sur le fait que nous passons trop de temps sur les techniques mathématiques. Il ne faudrait, par exemple, que présenter les formules de dérivées et passer très peu de temps à les pratiquer. Mais ne jamais s’attarder sur quelques difficultés algébriques que ce soit conduit aux situations que je viens de décrire. Et les difficultés que l’on rencontre en calcul algébrique se répercutent dans la résolution des équations bien évidemment, mais aussi dans les études de fonctions, et même dans les calculs avec le produit scalaire. L’incompétence algébrique quand elle est trop prononcée met en danger tout l’édifice des mathématiques.

Nous ne sommes pas les seuls à souffrir de ce problème. Les enseignants de physique chimie, de physique appliquée, et plus généralement les enseignants des disciplines technologiques s’arrachent les cheveux devant les incompétences algébriques de nos élèves. L’UDPPC, Union des Professeurs de Physique Chimie, réclame fortement une augmentation des horaires de mathématiques, non pas pour rajouter du contenu, mais pour parvenir à une meilleure maîtrise des contenus actuels. Ils sont sans cesse dans la situation où je me suis retrouvée cette année, dans l’impossibilité de faire fonctionner leurs notions.

Il n’est pas question pour autant de s’en tenir à des listes d’exercices stéréotypés, mais, en musique, l’élève doit faire des gammes et en éducation physique et sportive il s’entraîne, pourquoi n’y aurait-il qu’en mathématiques que tout exercice répétitif serait interdit ! Il n’existe malheureusement pas encore de méthode qui permette d’apprendre mieux en travaillant moins ! Nous demandons régulièrement à l’institution de limiter autant que possible les mouvements intempestifs de balanciers, le calcul algébrique en est un bon exemple.