Énigme 1

On considère trois nappes circulaires de même rayon $R$.

Déterminer le rayon de la plus grande table circulaire qu’on peut recouvrir entièrement avec les trois nappes.

Une solution

Soit $A$, $B$, $C$ les centres des trois nappes, et $A’$, $B’$, $C’$ les points d’intersection extérieurs des trois nappes, comme dans la figure 1 ci-contre.

Il s’agit donc de maximiser le diamètre du cercle circonscrit au triangle $A’B’C’$.

On peut déjà remarquer que les trois angles de $A’B’C’$ sont aigus, car les trois nappes ont le même rayon (c’est facile à comprendre et plutôt pénible à prouver ! Donc je passe…), et que les trois côtés ont pour longueur maximale $2R$.

L’idée intuitive est donc de maximiser les dimensions de $A’B’C’$ pour maximiser le rayon de son cercle circonscrit, idée qui n’est valable que pour des triangles aigus. Pour ce faire, on procède de la manière suivante. On fixe la base $B’C’$, et on fait tourner $A’$ autour de $B’$ en maintenant $A’B’$ constant jusqu’à ce que ou $A’C’ = 2R$.

À l’issue de cette phase, le point d’intersection des médiatrices de $[A’B’]$ et $[B’C’]$ est « plus haut », donc le rayon du cercle circonscrit a augmenté. On recommence en gardant la même base et en tournant autour de $C’$, avec $A’C’$ constant… jusqu’à obtenir un triangle isocèle de base $B’C’$ et de côtés $A’B’ = A’C’ = 2R$. Il suffit alors de faire la même suite d’opérations en changeant de base pour obtenir irrémédiablement un triangle équilatéral de côté $2R$, qui admet donc un cercle circonscrit de rayon maximal (Cf. figure 2).

On trouve alors facilement que le rayon de la plus grande table vaut (ce qui n’est pas franchement rentable vu le triple de lessive à faire pour gagner 33 % de surface !).