Exercices

Exercice 460-1
Résoudre l’équation $x^{3}+3x = a^{3}-\frac{1}{a^3} $ sans avoir recours à la formule de Cardan, c’est-à-dire en la mettant sous une forme particulière.
(Ch. de Comberousse, Cours de Mathématiques 1923).

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Exercice 460-2
Peut-on construire, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, un triangle équilatéral ABC tel que les coordonnées de A, de B et de C soient des nombres entiers ?

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Exercice 460-3
Soit l’équation $x^2 + 2x − 10^{-10}= 0$. À l’aide d’une calculatrice, trouver, avec la meilleure approximation possible, des valeurs approchées des deux racines.
Guy Canevet (Le calcul scientifique - Que sais-je n^o 1357).

Voici les précisions de l’auteur :
« La racine positive de cette équation peut s’écrire $x=\sqrt{1+10^{-10}}-1$. C’est un nombre très petit qui vaut environ $5 \cdot 10^{-11}$ ; or, par son expression, il est obtenu en faisant la différence de deux nombres très voisins, d’une part $\sqrt{1+10^{-10}}$ et 1 d’autre part. Si l’on travaille avec une machine ne comportant que dix chiffres significatifs, le résultat peut être complètement erroné. Mais on peut remarquer que cette même racine peut s’écrire $x=\frac{10^{-10}}{1+\sqrt{1+10^{-10}}}$. Dans cette formule, on effectue la division de $10^{-10}$ par un nombre très voisin de 2 : on travaille donc à précision relative constante, et le résultat est correct. »

voir l’article où est publiée la solution

NDLR : Le « Que sais-je » de Guy Canevet aborde beaucoup de questions tant théoriques que pratiques, et, détail important, il est facile et agréable à lire.

Remarque : L’énoncé donné dans le bulletin n^o 460 comportait une erreur. Les lecteurs voudront bien nous en excuser.
Notre collègue Loïc Pomageot (Creil) nous a transmis une solution pour l’équation donnée dans le bulletin n^o 460 : $x^2 + 2x − 10^{10} = 0$.

Solutions d’exercices du bulletin 457

Exercice 457-1
Soit un triangle ABC. On considère le trapèze rectangle ayant pour sommets les centres $\textrm{I} _\textrm{B}$ et $\textrm{I} _\textrm{C}$ des cercles ex-inscrits dans les angles B et C et les points de contact avec la droite (BC) de ces cercles.

1. Montrer que le point d’intersection I des diagonales du trapèze est sur la hauteur issue du sommet A.
2. Si D ′ désigne le pied de la bissectrice extérieure issue du sommet A, montrer que la droite (D ′ I) coupe les bases du trapèze en leur milieu.
3. Montrer que dans tout triangle ABC, la hauteur issue du sommet A est moyenne harmonique des rayons des cercles ex-inscrits dans les angles B et C.

Solution de Miguel Amengual Covas (Cala Figuera, Mallorca, España)

Solution de R. Raynaud (Digne)

Autres solutions : Alain Corrée (Moulins), Jean-Claude Carrega (Lyon), Georges Lion (Mata Utu, Wallis)

Exercice 457-3

Soit un triangle ABC dont tous les angles sont aigus et dans lequel AB ≠ AC. Le cercle de diamètre [BC] rencontre les côtés [AB] et [AC] respectivement en M et N. On note O le milieu du côté [BC]. Les bissectrices des angles $ \widehat {BAC}$ et $\widehat { MON} $ se coupent en R. Les cercles circonscrits aux triangles BMR et CNR se rencontreraient-ils en un point du côté [BC] ?

Solution d’ Alain Corrée (Moulins)

Solution de Georges Lion (Mata Utu, Wallis)

Des solutions de l’exercice 2 seront données dans le Bulletin 461.

Précision  : Dans le Bulletin 458, l’exercice n^o 5, p. 414, « Les désarrois de l’élève Toerless », était proposé par Jean-Pierre Friedelmeyer.