Exercices

Exercice 508-1 Jean-Pierre Friedelmeyer – Osenbach

Une lunule d’Hippocrate est délimitée par le demi-cercle de diamètre [AB] et le quart de cercle (OAB) de centre O.
On demande de partager cette lunule en n parties d’aires
égales, par des rayons issus de O.

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Exercice 508–2 Michel Lafond – Dijon Calcul de minimum
Soit le polynôme $P(x) = x^6 + 2x^4 - 2x^3 + 199810x^2 - 272672x + 93026, x \in \mathbb R$ .
Démontrer que P (x) est strictement positif pour tout x réel et calculer le minimum à $10^{-10}$ près.
Calculatrice interdite.

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Exercice 508–3 Georges Lion – Wallis tiré de « Euclid and beyond », par Robin Hartsborne
Soit un angle droit $\widehat{xOy}$, un point A à l’intérieur du premier quart de plan et un point B sur [Oy) tels que OB > OA.
Construire le cercle de centre O coupant [Ox) en C et [Oy) en D tels que les droites (BC) et (DA) soient parallèles.

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Exercice 508–4 à défaut de se plier en quatre … pour nos élèves

Voici un pliage, connu sous le nom de théorème de Haga, qui permet de déterminer le tiers du côté d’un carré.
Le milieu E du côté [DC] ayant été marqué au préalable (on ramène [CB] sur [DA] et on ne fait que marquer le pli sur E), on plie le carré ABCD de façon à amener le coin inférieur droit B, sur E.
Le côté qui était en bas coupe maintenant le côté gauche
[DA] en F.
Il s’agit de prouver que F est au tiers (ou aux deux tiers)
du côté [DA].
On peut faire plier des carrés de côté 8 ou 16 cm par exemple…

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Solutions

Exercice 506 - 1 Jean-Pierre Friedelmeyer –
Osenbach. Une duplication du cube sur une idée de
Claude Comiers

Le triangle ABC est rectangle en C, d’hypoténuse
AB double du côté BC et de milieu D. Une droite
issue de A coupe la demi - droite [CB) en F et le
cercle de diamètre [AB] en E tels que AD = DE = EF.

Démontrer que $BF^3 = 2BC^3$.

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Michel Sarrouy (Mende), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Richard Beczkowski (Chalons sur Saône), Raymond Heitz (Piriac), Maurice Bauval (Versailles), Mihaï Stoënescu (Bischwiller), Frédéric de Ligt (Montguyon), Jean-Pierre Friedelmeyer (Osenbach).

Voici la solution de Frédéric de Ligt.

Nota. Claude Comiers est l’auteur en 1677 d’un ouvrage intitulé : La duplication du cube, la trisection de l’angle et l’inscription de l’heptagone régulier dans le cercle [1] .

Exercice 506 - 2 Marie-Nicole Gras – Le Bourg d’Oisans d’après les Olympiades suédoises 1982

On considère un quadrilatère convexe ABCD et on suppose qu’il existe à l’intérieur
de ce quadrilatère un point P tel que les aires des quatre triangles PAB, PBC, PCD et PDA soient égales.
Caractériser de tels quadrilatères et préciser la position du point P.

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Raymond Heitz (Piriac), Maurice Bauval (Versailles), Frédéric de Ligt (Montguyon), Jean Gounon (Chardonnay), Richard Beczkowski (Chalon sur Saône).

Voici la solution de Maurice Bauval.

Exercice 506 - 3 Georges Lion – Wallis

La figure ci-contre illustre l’idée d’Euclide dans III.17 pour
construire la tangente menée de B au cercle $\Gamma$.

Généraliser l’idée d’Euclide pour construire les tangentes
communes à deux cercles de centres O et O’, de rayons R et
R’ tels que OO’ > R + R’ > 2R’, dont les points de contact
avec le grand cercle sont d’un même côté de la droite (OO’).

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Richard Beczkowski (Chalon sur Saône), Frédéric de Ligt (Montguyon), Georges Lion (Wallis).

Exercice 506 - 4 pioché de-ci, de-là

Soient deux entiers naturels n et m tels que $ n \ge m^2 \ge 16$. Prouver que $2^n ≥ n^m$ .

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Raymond Heitz (Piriac), Frédéric de Ligt (Montguyon), Jean Gounon (Chardonnay), Richard Beczkowski (Chalon sur Saône).

Voici la solution de Richard Beczkowski.

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