Brochure APMEP n^o 124 – DEUXIÈME ÉDITION –, par Roger CUPPENS.

174 pages en 17 x24. Excellente présentation avec couleur.

No ISBN : 2-912846-37-4.

La brochure n^o 124 constitue le tome I d’un ensemble de deux brochures. Ce tome I porte sur points, droites, cercles et coniques.

Le tome II porte sur les cubiques et autres courbes algébriques.

La première édition de ces deux tomes, présentée dans le Bulletin 423, pages 500-501, a été rapidement épuisée.

D’où l’actuelle réédition, complétée, du tome I.

Celle du tome II est en cours, mais son large remaniement obligera les acheteurs à patienter encore quelques semaines. Puissent-ils nous en excuser ! Rappelons, qu’il s’agit, pour l’essentiel, « de la géométrie de Chasles, revisitée par des moyens modernes, en ouvrant sur la géométrie projective formelle, les transformations et la géométrie algébrique ».

POUR CETTE DEUXIÈME ÉDITION DE LA BROCHURE 124, le plan de la première est inchangé, mais quelques sujets ont été modifiés ou ajoutés, ce qui donne 12 pages de plus que dans la première édition !

Parmi les sujets modifiés, citons :

• une construction de l’axe radical de deux cercles utilisant l’inversion,
• une construction de la polaire d’un point par rapport à un cercle utilisant également l’inversion et une astuce permettant de faire passer une droite par deux points confondus !
• une nouvelle construction du cercle passant par trois points donnés dont deux peuvent être imaginaires conjugués.

Les nouveaux sujets sont :

• les cercles imaginaires : définition, intersection avec une droite, puissance d’un point, inversion, axe radical et intersection de deux cercles, orthogonalité, pôle et polaire.
• les coniques imaginaires : représentation, intersection avec une droite, pôle et polaire, intersection avec une autre conique.
• Le théorème de Pascal pour les coniques réelles lorsque des points sont imaginaires conjugués ou pour les coniques imaginaires.

Terminons par trois problèmes d’énoncés élémentaires, mais dont la solution est plutôt subtile :

1. Soient A et B deux points sur une conique. Construire une droite qui soit la sécante (AB) lorsque les deux points sont distincts (non coïncidents) et avec la tangente en A lorsque les deux points coïncident.
2. Soient (A,B) et (C,D) deux couples de points réels ou imaginaires conjugués. Construire les points d’intersection des droites (AC) et (BD) d’une part et (AD) et (BC) d’autre part.
3. Soient (A,B) et (C,D) deux couples de points réels ou imaginaires conjugués et M un point réel. Construire la conique qui passe par les quatre points A, B, C et D et qui est telle que le point M soit le milieu de deux points (réels ou imaginaires conjugués) situés sur cette conique.

Enfin, j’ajouterai que les figures (plus de 400 !) ont été refaites, les éléments imaginaires étant tracés en rouge, ce qui devrait faciliter la lecture…

La première édition a fait l’objet d’appréciations flatteuses – y compris internationalement – Or celle-ci est encore plus riche, plus ouverte, … et d’une accessibilité accrue.

Je ne saurais trop renouveler le conseil de 1999, avec encore plus de raisons : cette brochure s’impose, pour vous-même, les étudiants, les bibliothèques,…

Henri BAREIL