Utiliser l’histoire des mathématiques

J’ai utilisé la fiche ci-après en classe de Terminale S, en séance de TP (donc en demi-classe), comme activité d’introduction : mon idée directrice était de m’appuyer sur l’histoire des mathématiques pour montrer en quoi la notion d’intégrale était une réponse à un problème.

La fiche présente le problème historique, et pose des questions qui amènent les élèves à calculer et raisonner. Il ne s’agit pas d’un travail autonome : la présence du professeur est indispensable, il intervient quand c’est nécessaire, notamment quand la fiche a volontairement passé sous silence un élément essentiel pour ne pas tuer le plaisir de la découverte.

Introduction des intégrales

Pour montrer l’intérêt du problème posé, la fiche a été précédée d’une courte introduction :

Diverses situations se ramènent au même problème mathématique : étant donnée une fonction $f$, trouver l’aire du domaine situé sous la courbe entre deux abscisses $a$ et $b$.

Exemples
 Sachant la façon dont la vitesse d’un mobile évolue avec le temps, trouver la distance parcourue entre deux instants donnés ;
 Sachant la façon dont le débit d’un écoulement évolue avec le temps, trouver le volume écoulé entre deux instants donnés ;
 Sachant la façon dont la puissance d’un moteur évolue avec le temps, trouver l’énergie fournie entre deux instants donnés ;
 Sachant la façon dont le coût marginal évolue avec la quantité produite, trouver le coût total de production d’une quantité donnée ;
 Connaissant la densité de probabilité d’une variable aléatoire, trouver la probabilité qu’elle prenne ses valeurs dans un intervalle donné.

Ce problème de recherche de l’aire d’un domaine curviligne s’appelle "quadrature" dans la tradition mathématique, car mesurer une aire consiste a priori à compter le nombre de carrés unités qu’on peut loger dans le domaine (penser à "quadrillage").

La méthode d’Archimède n’est pas indispensable (elle mériterait d’ailleurs d’être étudiée pour elle-même, car elle fait appel à la sommation d’une série géométrique). Elle a cependant un double intérêt : montrer que le problème est ancien ; fournir une vérification pour les deux autres calculs.

La méthode de Leibniz en revanche me paraît absolument incontournable pour expliquer l’expression « somme intégrale » (qu’on abrège trop vite en "intégrale", ce qui est une perte de sens), ainsi que la notation $\int f (x) \, \mathrm dx $ (en réalité Leibniz écrivait $\int y \, \mathrm dx $) et son lien avec la notation $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$.

De plus, le lien entre intégrale et primitive est établi avec une désarmante simplicité !

J’explique oralement que le mot infinitésimal signifie « infiniment petit ». Après avoir montré la puissance de la méthode de Leibniz (non seulement on retrouve le résultat d’Archimède, mais on peut passer à d’autres fonctions), j’évoque les objections logiques soulevées notamment par Berkeley : ou bien $\mathrm dx$ est nul et alors $f(x) \, \mathrm dx = 0$, ou bien $\mathrm dx$ n’est pas nul et alors l’aire de la tranche n’est pas $f(x) \, \mathrm dx$. C’est ce qui a conduit Riemann à rejeter ce type de raisonnement. Mais s’il a pu le faire (au prix d’un alourdissement sensible), c’est parce qu’entre-temps la notion de limite a été élucidée.

Il me paraît important que les élèves connaissent ce langage des infinitésimaux, qui reste très présent en physique.

La fiche-élève : La quadrature de la parabole

Bibliographie :