Introduction aux nombres complexes

Dans les années soixante-dix, les nombres complexes étaient introduits à l’aide de l’ensemble des matrices de la forme $ \begin{pmatrix}a&-b \\b&a\end{pmatrix}$, $a$ et $b$ étant des réels, muni des lois adéquates, en liaison avec les transformations du plan. Puis, en 1983, on est passé à l’ensemble des couples $(a ;b)$, $a$ et $b$ étant des réels. Les activités historiques étaient alors un « plus » pour les élèves, mais pouvaient ne pas apparaître nécessaires à un certain nombre d’enseignants.

Mais, à la fin des années quatre-vingt, l’introduction des nombres complexes comme l’ensemble des nombres de la forme $a + bi$, avec $i^2 = -1$ ($a$ et $b$ étant des réels), a rendu indispensable d’expliquer aux élèves le « pourquoi » de cette soudaine irruption d’un nombre à carré négatif. Quoi de mieux alors que d’expliquer l’aventure des nombres complexes sous l’aspect historique ?

Une progression sur le fil de l’histoire

Les documents qui suivent proposent une progression historique pour l’introduction des nombres complexes, précédant le cours proprement dit et devant aider à le rendre accessible aux élèves. Avant cette introduction, nous révisons en classe trigonométrie et coordonnées polaires. L’introduction prend plusieurs heures ; elle a évolué au cours des années, passant d’un exercice sur les nombres complexes avec le texte d‘Argand (en 1982-83) à une étude plus approfondie de divers textes historiques.

Feuilles d’activités avec les élèves

La feuille « aperçu historique » est très largement inspirée de la brochure de l’IREM de Poitiers Travaux interdisciplinaires en classes terminales scientifiques (1993), qui propose des activités très intéressantes entre autres en mathématiques-philosophie.

La question 3 de l’exercice 2 est destinée à soulever le problème du cas irréductible de l’équation du troisième degré, pour laquelle la méthode de Cardan ne donne rien, alors même qu’il y a trois solutions. L’exercice 3, que toute la classe traitait jadis, est devenu un exercice facultatif à faire à la maison.

Nous lisons ensuite le texte de Bombelli (« l’audace de Bombelli »), qui se termine par la résolution de l’équation qui nous bloquait dans l’aperçu historique. Nous faisons alors quelques exercices de calcul (feuille suivante) ; les exercices du livre sont ceux de la collection Terracher, chez Hachette.

Cette année, je n’ai pas eu le temps de lire le texte de Descartes, et donc pas celui non plus de faire les exercices qui le suivent (je ne voulais pas couper l’introduction et les premières heures de cours par des vacances).

Le document qui suit est un extrait du texte d’Argand sur la représentation géométrique des nombres imaginaires. Vous trouverez ce texte, et bien d’autres, avec des activités possibles en classe, dans l’ouvrage Images ; Imaginaires, Imaginations de la Commission inter-IREM d’Histoire et Épistémologie des Mathématiques, Ellipses (1998).

En fait, Argand est le premier auteur qu’ont lu mes élèves, lors de l’année scolaire 1982-83, ma première année d’enseignement en lycée, celle où j’ai découvert à la fois l’histoire des mathématiques et les textes historiques, et singulièrement celui d’Argand, grâce à ma rencontre avec Jean-Luc Verley. La découverte d’Argand fut un tel éblouissement que je ne pus faire autrement que le faire découvrir également à mes élèves (avec la présence attentive de Jean-Luc, sans qui rien n’eût été possible).

C’est un autre extrait que lurent alors mes élèves (insertion de deux moyennes proportionnelles), accompagné d’un exercice destiné à les aider dans leur lecture (voir brochure M. : A.T.H. n°61 de l’IREM Paris 7). Depuis, mes lectures en classe ont évolué et l’extrait que je livre ici est lu de manière collective.

Le cours arrive ensuite, en principe sans trop de surprises pour les élèves, une partie du cours ayant déjà été vue en exercice.

Pour ce qui est des années à venir, le paragraphe, fort réduit, sur les nombres complexes dans les programmes prévus à la rentrée 2012, est le seul prévoyant explicitement dans les commentaires une introduction historique. Et d’ailleurs, cette introduction n’est-elle pas, vue la pauvreté des applications proposées, le plus grand intérêt de ce paragraphe ?