(« règle » au sens de loi, principe ou théorème régissant une activité, ici de calcul algébrique).

Brochure rédigée par le Groupe Didactique de l’IREM de Montpellier (Nicole Bellard, Alain Bronner, Marc Boullis, Yves Girmens, Mirène Larguier, Martine Lewillion, Sylvie Pellequer, Élisabeth Rebillard, Michel Roche, Michel Seco, Claudine Vergne), relue par Luc Trouche et préfacée par Robert Noirfalise.

112 pages en 17 × 24. présentation très claire. Sommaire détaillé. Bibliographie (4 pages) de type universitaire… Annexes (18 pages).

ISBN : 2-912846-42-0.

Prix public : 10 €, adhérent : 7 €.

Chapitre 1. D’ABORD « LA PROBLÉMATIQUE » (6 pages) :
À partir d’un exemple (sur $(a − b)^ 2$ et $a^2 − b^2$ ), l’INTRODUCTION situe d’emblée le débat : « Dans le cursus scolaire, il y a une quinzaine de règles du calcul algébrique que l’on retrouve dans les mémentos de manuels. Elles constituent l’une des parties essentielles des savoirs institutionnels enseignés en algèbre, du collège au lycée.

Quelles sont, malgré la durée de ces apprentissages, les raisons qui font que [les] erreurs dans l’utilisation des règles apparaissent et persistent ? ».

De quoi s’intéresser à la forme des signifiants algébriques, à l’invariance d’écritures algébriques quant à leur « dénotation » et à leur « sens », à ce que donnent à voir les expressions algébriques (un carré pour $(a − b)^2 $, mais une somme [ou …] pour $a^2 − 2ab + b^2$ ), …

Surgit une interrogation : « Pourquoi l’élève [qui transforme une expression algébrique] n’a-t-il pas l’initiative, pour contrôler l’égalité des résultats, de remplacer les lettres par des valeurs numériques ? ». Que peut-il en déduire ? Qu’en déduit-il ? Cela est-il pris en charge par l’enseignement ? Les auteurs pensent que non…

S’intéressant aux significations de l’égalité et au calcul pervers de $(5 + 3)^2$ par référence à $ (a + b)^2$ , les auteurs regrettent que « le traitement des expressions littérales et le calcul numérique se développent [… comme s’ils ne pouvaient pas] être reliés ».

Mais quelle conception l’élève a-t-il de la mise en œuvre d’une règle  ? « Comment fonctionnent-elles dans les mathématiques ? Mais aussi, comment sont-elles données à voir et à utiliser par les élèves ? »… Or, « l’apprentissage d’une règle suppose sa connaissance en tant qu’objet et son utilisation en tant qu’outil […], autrement dit de ce qu’elle est et de la manière dont elle opère »…

Chapitre 2. LA RÈGLE DANS TOUS SES ÉTATS (8 pages) :

• Origine du mot. Termes proches. Contextes divers (l’art, le jeu, …). Les règles dans le contexte mathématique  : constitutives d’une théorie, normatives ou conventions, de formation d’écritures, d’usage, de déduction, procédurales.
• Tout cela est décrit à partir d’une multitude d’exemples…
• « Ce repérage des divers types de règles va permettre de mieux analyser les stratégies d’enseignement à leur propos : … Doit-on enseigner des règles ? lesquelles et comment ? Comment les énoncer, en contrôler l’apprentissage ? ». Cela va faire l’objet des chapitres 3 et 4.

Chapitre 3. L’APPORT INSTITUTIONNEL À L’OBJET RÈGLE… (21 pages) :
Trois sous-chapitres :

• 3.1. Période actuelle, au collège, au lycée, …
• 3.2. À travers huit livres de Quatrième, règles pour la résolution de l’équation du premier degré à une inconnue et le cosinus d’un angle aigu.
• 3.3. Dans les périodes anciennes, un intéressant panorama à partir de douze livres (de 1757 à la fin du XIX^e siècle)…

Chapitre 4. RAPPORT PERSONNEL DE L’ÉLÈVE À LA RÈGLE (41 pages) :
Vers ce rapport. Ses composantes. Les pratiques dominantes en France. Le registre algébrique (…, signes, … transformations d’expressions algébriques « muettes et automatisées » …, … aspect cognitif …, … lecture de l’écrit …, … difficultés du traitement algébrique …). L’aspect cognitif (connaissances nécessaires …, « créations de règles-élèves par analogie, adaptation, glissement », modes inductif et déductif, aspect socioculturel). Composante épistémologique. « Analyse de productions d’élèves et repérage des conceptions des élèves » (autour de $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ – avec extension au cube –, fraternisations avec $ a^2 − b^2 $ , … extension à $ (a + b + c)^2$ , …, tests sur $ x^2 = a $, commentaires et entretiens, …

Chapitre 5. CONCLUSION (4 pages) :
Les auteurs y constatent, notamment, que « l’écrit algébrique, trop souvent réduit à des algorithmes, semble être un objet mathématique transparent » alors qu’il s’agit « d’un milieu antagoniste pour l’élève, dans lequel, la plupart du temps, ce dernier développe des adaptations pour répondre à la demande des enseignants ».

Ils souhaitent des élucidations et que les élèves soient capables d’engager un débat scientifique pour prouver le vrai ou le faux, repérer les fameuses « règles-élève », …

Ils espèrent provoquer « des interrogations chez le professeur et permettre un autre regard sur les difficultés et les erreurs des élèves ».

ANNEXES (18 pages) relatifs aux ouvrages étudiés et aux tests  : Tableaux ; citations ; résultats des tests ; …

QUELQUES COMMENTAIRES SUR CE TRAVAIL :

• S’attaquant à un domaine présumé mineur, petit maquis plus ou moins exploré, les auteurs y ont apporté des éclairages qui en manifestent l’importance et permettront de notables avancées pédagogiques.

• De plus, loin d’une étude fragmentaire, la brochure touche à des points essentiels de l’enseignement des mathématiques :
  • mises en place historiques et leurs séquelles,
  • rôle prégnant des « ostensifs  » (ce qui donne à voir), alors que le sens est gouverné par du non-ostensif, …
  • réflexions sur les codages et sur les « surcodages » (polysémie de consignes),
  • utilisation, intérêt et dangers des métaphores,
  • inconvénients des « écrasements sur le technique  »,
  • questions du « sens  », … à maintenir ou à oublier !,
  • problèmes d’évaluation … [en général « ce qui est juste “ rapporte des points ” alors que ce qui est faux n’en enlève pas, […] donc mieux vaut produire quelque chose plutôt que rien », … coutume génératrice d’irresponsabilité chez l’élève, mais qui évite l’inhibition ? …],
  • dualité objets idéaux-représentations, entre signes écrits et concepts ou notions représentés,
  • nécessité de « construire la compétence » de changements de registre,
  • relation à la rigueur  : « L’être mathématique se dérive progressivement d’un terme banal pouvant recouvrir des sens différents. Prôner d’emblée un purisme mathématique s’oppose au fait que la rigueur ne s’impose que par son efficacité dans la communication, avec les autres et avec soi-même »,
  • problème des « règles-élève », raisonnement par analogie : « comprendre, c’est raisonner par analogie avec une situation connue », mais dès qu’il s’agit de découvrir, à l’intérêt de l’analogie se mêlent des risques dès qu’elle se confie trop à ce qui se donne à voir… ,
  • danger de ruptures cachées (entre mise en facteur commun et mise en facteur du monôme de plus haut degré, lors de changements de référentiels, ainsi pour $−a$ ou $\sqrt{a^2}$ lorsque $a$ peut être négatif, …), ruptures qui peuvent rendre caduques des règles d’action…
• Des ouvrages de didactique n’échappent pas à la règle commune à trop de productions humaines : étaler la confiture ou en camoufler l’inexistence de fait sous un vocabulaire abscons.
  Ici, rien de tout cela ! Une pensée dense et riche est exprimée de façon lisible et simple. À quelques détails près :
  • de vocabulaire, mais alors les mots « rares » sont expliqués, ainsi « dénoter », page 4, « ostensif », page 6.
  • de quelques références à des théories de didactique, mais le contexte éclaire.

[Les lecteurs du Bulletin Vert pourront aussi se reporter au texte de Guy Brousseau du présent Bulletin, à un texte sur lui du n^o 452, et, pour une allusion à la théorie anthropologique de Yves Chevallard, à la note, page 620 du n^o 453, que je rappelle : « Cette approche tend à modéliser les rapports aux mathématiques, des individus, des institutions et de leur environnement, en prenant en compte toutes les contraintes qui rendent ces relations possibles, nécessaires, économiquement et écologiquement adaptées ».]

MA CONCLUSION

Le sujet de l’ouvrage pouvait sembler mineur. Il y a pris une belle consistance ! Avec des études que toute pédagogie des mathématiques se devrait d’intégrer et d’utiliser. J’en félicite l’équipe de l’IREM de Montpellier. Et à chacun de profiter de leur travail…