Jean-Dominique Picchiottino [1], Pierre Amigo [2] & Michel Jeuffroy [3]

Dans le domaine de la géométrie, nous trouvons des expressions qui nous sont familières comme les longueurs de segments, les aires de surfaces et les volumes de solides. Sommes-nous tous vraiment au point avec leur maniement ? Rien n’est moins sûr, comme en témoigne la phrase suivante, encadrée et commentée dans un manuel de sixième il y a quelques années…

La longueur d’un segment dépend de l’unité choisie.

Évidemment, ce n’est pas la longueur d’un segment qui dépend de l’unité choisie, mais bien sa mesure. Ainsi, deux segments superposables ont nécessairement la même longueur, quelle que soit l’unité choisie, mais pas nécessairement la même mesure car la longueur d’un segment est la classe d’équivalence des segments qui lui sont isométriques (via la relation définie dans l’ensemble des segments du plan affine euclidien : s est équivalent à s’ si et seulement si il existe une isométrie transformant s en s’) alors qu’une mesure d’un segment est un nombre réel positif, dépendant d’un segment choisi comme unité. Par exemple deux segments de longueurs respectives 2,3 cm et 23 mm ont la même longueur bien qu’ils aient des mesures différentes (2,3 pour l’un et 23 pour l’autre).

On peut bien sûr minimiser l’ampleur des dommages collatéraux provoqués par la phrase (fausse) relevée dans le manuel, invoquer un abus de langage courant et rejeter nos remarques en en critiquant la rigueur, voire le rigorisme.

Cependant, il nous semble qu’en tant que professeurs de mathématiques nous sommes précisément tenus de développer un discours rigoureux, surtout lorsque le vocabulaire usuel non seulement le permet, mais aussi clarifie les concepts étudiés.

Et dans le cas des segments, des surfaces et des solides, il le permet.

Qu’en est-il dans le domaine des angles ? S’aventurer dans le territoire des angles n’a jamais été sans risque. Déjà en 1985 le rapport du jury de l’agrégation de mathématiques notait que «  les angles suscitent toujours beaucoup d’appréhension, qu’il conviendrait de surmonter une bonne fois… ». Il n’est, à l’évidence, pas dans notre intention de proposer un remède miracle pour surmonter nos appréhensions !

Toutefois, au niveau du Collège, il nous semble que l’introduction d’un nouveau mot de vocabulaire relatif aux angles est susceptible de mettre un peu d’ordre dans les notions qui leur sont rattachées.

Il s’agit du mot « ouverture ».

L’ouverture serait alors à l’angle ce que la longueur est au segment, l’aire à la surface et le volume au solide.

Nous entendons les questions relatives à la définition d’un angle. Voici notre réponse : pour nous, un angle est une surface délimitée par deux demi-droites de même origine. Cette définition est certes moins précise que celle définissant un angle comme l’intersection de deux demi-plans dont les frontières sont sécantes car en traçant deux demi-droites de même origine on définit ipso facto deux angles. Soit. Mais pour une étude au niveau de la sixième, il est loisible faire remarquer cette ambiguïté aux élèves et de leur préciser le domaine d’étude des angles. Ils seront soit saillants ou plats, soit saillants, rentrants ou plats, selon les motivations pédagogiques de l’enseignant.

Une fois la définition d’un angle posée et assimilée, l’action sur les côtés d’un compas de tableau, ou le déroulement d’animations interactives, par exemple sous flash, geoplan ou cabri, permettent de montrer des angles plus ou moins ouverts ou plus ou moins fermés et conduisent naturellement à la définition de son ouverture. On s’interdit de la sorte des angles « plus grands » ou « plus petits » que d’autres, au profit d’angles plus ouverts ou plus fermés que d’autres. Suivant notre logique, un triangle équilatéral est un triangle dont les trois angles ont la même ouverture, les angles opposés d’un parallélogramme ont la même ouverture, etc. Ces phrases nous semblent plus rigoureuses, à moindres frais, que celle affirmant par exemple que les angles d’un triangle équilatéral sont égaux.

Dans … la mesure où seul le degré décimal est utilisé au collège, dire que deux angles ont la même ouverture équivaut à dire que deux angles ont la même mesure. Avoir une certaine mesure ou une certaine ouverture sont donc deux états équivalents pour un angle. Certes. Cependant, il nous paraît plus judicieux d’établir un parallèle entre ouverture et angle d’une part et longueur et segment de l’autre, ne serait-ce que pour préparer l’introduction des mesures en radians à venir dans la classe de Seconde.

Il reste à l’enseignant qui adopte cette terminologie à l’adapter à chaque emploi, chaque niveau, chaque classe et chaque élève afin d’éviter d’éventuelles tournures lourdes nuisibles à l’assimilation des notions présentées.