« Histoire des mathématiques »

Programmes 2019
pour la 1re

Dans les programmes

Les problèmes proposés aux élèves peuvent être internes aux mathématiques, provenir de l’histoire des mathématiques, être issus des autres disciplines ou du monde réel, en prenant en garde que la simple inclusion de références au monde réel ne suffit pas toujours à transformer un exercice de routine en un bon problème. Dans tous les cas, ils doivent être bien conçus et motivants, afin de développer les connaissances et compétences mathématiques du programme.

Programme, préambule, extrait

Il peut être judicieux d’éclairer le cours par des éléments de contextualisation d’ordre historique, épistémologique ou culturel. L’histoire peut aussi être envisagée comme source féconde de problèmes clarifiant le sens de certaines notions. Les items « Histoire des mathématiques » identifient quelques possibilités en ce sens. Pour les étayer, le professeur pourra, s’il le désire, s’appuyer sur l’étude de documents historiques.

Programme, préambule, extrait

 

Algèbre

Bien avant de faire l’objet d’une étude formalisée, les suites apparaissent dans deux types de situations :

  • approximation de nombres réels
    encadrement de $\pi$ par Archimède, calcul de la racine carrée chez Héron d’Alexandrie
  • problèmes de comptage
    les lapins de Fibonacci, etc.

Les problèmes décrits dans les livres de Fibonacci, ou chez les savants arabes qui le précèdent, se modélisent avec des suites. Oresme calcule des sommes de termes de suites géométriques au XIVe siècle.

On trouve chez Diophante, puis chez Al-Khwârizmî, des méthodes de résolutions d’équations du second degré. Le travail novateur d’Al-Khwârizmî reste en partie tributaire de la tradition (utilisation de considérations géométriques équivalentes à la forme canonique) et de l’état alors embryonnaire de la notation algébrique, ainsi que de l’absence des nombres négatifs. Les méthodes actuelles sont un aboutissement de ce long cheminement vers un formalisme efficace et concis.

Programme, item « Histoire des mathématiques »

 

  • Legendre approxime $\pi$ en classe de seconde ?
    • Auteur
      Frédéric Métin
    • La Fiche Publimath
    • Document pour la classe
      Activité en classe, expérimentée en seconde en 1997 et qui rentre bien dans le cadre actuel du programme de première.
    • Points du programme abordés
      Écriture algébrique, rapport d’aire qui peuvent déboucher sur l’écriture de suites et une implémentation informatique de la procédure (non faite dans l’article lui-même).
  • Archimède et la mesure du cercle
    AFDM n°543, janvier, février, mars 2022
    • Auteure
      Martine Bühler
    • La Fiche Publimath
    • Document pour le/la prof
      Les textes des propositions d’Archimède sur la mesure du cercle, commentés, suivi d’une analyse succincte du document d’Éduscol sur le calcul de $\pi$.
    • Points du programme abordés
      Pas de contenu en particulier mais une réflexion autour de l’item :
      Bien avant de faire l’objet d’une étude formalisée, les suites apparaissent dans deux types de situations : approximation de nombres réels (encadrement de pi par Archimède [...])
  • Algorithmes de calculs chez Archimède. Étude de « La mesure du cercle »
    Histoire et épistémologie des mathématiques
    les mathématiques dans la culture d’une époque p. 132-142
    • Auteur
      Martine Bühler
    • La fiche Publimath
    • Document pour le/la prof avec des pistes pour la classe
      Compte rendu d’une expérimentation pédagogique en classe de terminale C concernant la lecture du texte sur La mesure du cercle d’Archimède : à adapter aux programmes actuels.
    • Points du programme abordés
      Suites et algorithmes.
  • Fibonacci — Extraits du Liber abaci
    • Auteur
      Marc Moyon
    • La fiche Publimath
    • Document pour le/la prof avec pistes pour la classe
      Vision d’ensemble du contexte dans lequel l’œuvre de Fibonacci se situe. Quelques passages sur l’écriture des nombres et des fractions et une vingtaine de problèmes assortis de leurs solutions et de commentaires détaillés qui peuvent servir de support à des activités en classe.
    • Points du programme abordés
      Suites, …
  • Un support historique pour l’étude des suites en première
    4 000 ans d’histoire des mathématiques
    les mathématiques dans la longue durée . p. 487-512
    • Auteur
      Jean-Yves Hély
    • La fiche Publimath
    • Document pour la classe
      Textes historiques (en particulier d’Euler) et leur exploitation sous forme d’exercices pour la classe.
    • Points du programme abordés
      Suites arithmétiques, suites géométriques, somme de termes consécutifs.
  • La restauration et la comparaison, ou l’art de résoudre des équations quadratiques dans l’Europe latine
    Revue d’histoire des mathématiques
    Num. 23. Vol. 2. p. 233-299
    • Auteur
      Marc Moyon
    • La fiche Publimath
    • Document pour ...
      ...
    • Points du programme abordés
      ...
  • Un problème de Diophante au fil du temps
    4 000 ans d’histoire des mathématiques
    les mathématiques dans la longue durée p. 41-55
    • Auteur
      Jean-Paul Guichard
    • La fiche Publimath
    • Document pour le/la prof avec pistes pour la classe
      Textes historiques (Diophante, Babyloniens, Viète, …) pouvant être utilisés en classe.
    • Points du programme abordés
      Équation du second degré, somme et produit de deux nombres

 

Analyse

Le calcul différentiel s’est imposé par sa capacité à donner des solutions simples à des problèmes nombreux d’origines variées (cinématique, mécanique, géométrie, optimisation). Le développement d’un calcul des variations chez Leibniz et Newton se fonde sur l’hypothèse que les phénomènes naturels évoluent linéairement quand on leur applique des petites variations. Leurs approches partent de notions intuitives mais floues d’infiniment petit. Ce n’est que très progressivement que les notions de limites et de différentielles, qui en fondent l’exposé actuel, ont été clarifiées au XIXe siècle.

La notation exponentielle et les fonctions exponentielles apparaissent vers la fin du XVIIe siècle, procédant d’une volonté de traiter des phénomènes de croissance comparables à ceux des intérêts composés. La modélisation de ces situations fait naturellement apparaître la caractérisation de la fonction exponentielle comme seule fonction vérifiant l’équation différentielle $y’ = y$, et la condition initiale $y(0) = 1$.

La trigonométrie a été utilisée chez les Anciens dans des problèmes de natures diverses (géométrie, géographie, astronomie). Elle est à l’époque fondée sur la fonction corde, d’un maniement bien moins facile que les fonctions sinus et cosinus de la présentation actuelle.

Programme, item « Histoire des mathématiques »

 

  • L’exponentielle : une fonction à plusieurs facettes
    Losanges Num. 3 p. 31-37
    • Auteurs
      Jacques Bair ; Valérie Henry
    • La fiche Publimath
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    • Points du programme abordés
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Géométrie

La notion de vecteur était implicite en mécanique depuis Galilée mais a mis longtemps à prendre sa forme actuelle. On observe un lien entre analyse et géométrie en étudiant la façon dont la notion de vecteur apparaît chez Leibniz au cours de ses recherches sur l’élaboration d’un calcul des variations. Le XIXe siècle voit l’élaboration conjointe de ce qui deviendra le produit scalaire et de la notion de travail en physique.

Le calcul vectoriel et le produit scalaire donnent une approche de la géométrie différente de celle des Anciens, avec l’avantage de combiner vision géométrique et calcul.

Les cercles font partie des plus vieux objets mathématiques. La caractérisation du cercle de diamètre AB comme ensemble des points M tels que le triangle AMB soit rectangle en M semble remonter à Thalès. Mais ce n’est qu’au XVIIe siècle que Descartes élabore la méthode des coordonnées et écrit l’équation d’un cercle en repère orthonormé.

Programme, item « Histoire des mathématiques »

 

  • Des origines de la géométrie analytique
    Histoire du calcul de la géométrie à l’algèbre p. 79-100
    • Auteur
      Henry Plane
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Probabilités et statistique

Les probabilités conditionnelles peuvent être l’objet d’un travail historique en anglais ; elles apparaissent en effet dans des travaux de Bayes et de Moivre, écrits en anglais au XVIIIe siècle, même si c’est Laplace qui en a élaboré la notion. Les questions traitées par ces auteurs peuvent parfois surprendre (exemple : quelle est la probabilité que le soleil se lève demain, sachant qu’il s’est levé depuis le commencement du monde ?) ; néanmoins, les probabilités conditionnelles sont omniprésentes dans la vie courante et leur utilisation inappropriée mène facilement à de fausses affirmations.

L’histoire des probabilités contribue à la réflexion sur la codification d’une théorie scientifique. On peut considérer que les origines du « calcul des probabilités » remontent au XVIIe siècle. Pascal, Huygens, Moivre, Bernoulli, Euler, d’Alembert appliquent les notions de variable aléatoire et d’espérance à des problèmes issus de questions liées aux jeux, aux assurances et à l’astronomie.

Ce n’est que vers 1930 que la description actuelle, en termes d’univers, s’est imposée. Elle permet une formalisation souple dans laquelle l’univers joue le rôle de « source d’aléas ».

La notion de variable aléatoire, présente sans définition précise depuis l’origine de la discipline, apparaît alors comme une fonction définie sur l’univers.

Programme, item « Histoire des mathématiques »

 

  • La portée physique et sociale de la règle de Bayes
    Histoires de probabilités et de statistiques p. 55-73
    • Auteur
      Jean-Pierre Cléro
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    • Points du programme abordés
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  • Probabilité des causes à partir de Condorcet
    De grands défis mathématiques, d’Euclide à Condorcet p. 117-135
    • Auteur
      Gérard Hamon
    • La fiche Publimath
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    • Points du programme abordés
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  • Galilée ou Descartes ? Étude d’un scénario d’introduction historique au calcul des probabilités
    Histoires de probabilités et de statistiques p. 275-296
    • Auteur
      Éric Butz
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    • Points du programme abordés
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  • Laplace et la Théorie analytique des probabilités : itinéraires de découverte
    Histoires de probabilités et de statistiques p. 197-224
    • Auteur
      Jean-Pierre Lubet
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    • Points du programme abordés
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Algorithmique et programmation

De nombreux textes témoignent d’une préoccupation algorithmique au long de l’Histoire. Lorsqu’un texte historique a une visée algorithmique, transformer les méthodes qu’il présente en un algorithme, voire en un programme, ou inversement, est l’occasion de travailler des changements de registre qui donnent du sens au formalisme mathématique.

Programme, item « Histoire des mathématiques »
  • La pensée algorithmique. Un regard historique
    • Auteurs
      Serge Allegraud ; CatherineFarjot ; Rossana Tazzioli ; Jean-Pierre Lubet ; Anne-Marie Marmier ; Rudolf Bkouche
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    • Points du programme abordés
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  • Histoire d’algorithmes : du caillou à la puce
    • Auteur
      Jean-Luc Chabert Dir.
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    • Points du programme abordés
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(mis à jour le 1er novembre 2024)

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