Des congressistes venus du sud de la France ont emprunté pour venir à Clermont-Ferrand le viaduc de Millau, combien spectaculaire par son architecture et sa hauteur. Savaient-ils que des mathématiques y sont cachées, à la fois utiles pour sa construction mais aussi pour sa surveillance ? L’effondrement du pont de Tacoma en 1940 aux Etats-Unis est bien connu mais pareille catastrophe pourrait-elle encore se produire aujourd’hui en France au-dessus des gorges du Tarn à Millau ? Faudrait-il le réveil d’un volcan ou bien comme à Tacoma suffirait-il des effets de résonance suscités par le vent pour nous envoyer par le bas !

Pour nous rassurer, les deux conférenciers nous ont invités à faire un tour d’horizon des mathématiques utilisées ou susceptibles de l’être pour effectuer le suivi de grandes structures souples soumises à des sollicitations ambiantes. Un exemple parmi d’autres en est le viaduc de Millau ; plus généralement, il s’agit d’étudier un pont souple à haubans, soumis aux sollicitations de vent, trafic, gradients de températures...

La première partie, traitée par Michel Fogli, a été consacrée à l’aspect modélisation de la structure de l’ouvrage. Dans un premier temps, on suppose la situation « idéale » : les caractéristiques de la structure sont connues, et l’excitation bien mesurée. Comment passe-t-on d’un problème de mécanique très complexe à un modèle mathématique lui-même complexe, puis comment simplifie-t-on ce modèle pour se ramener à l’étude d’un système différentiel linéaire. Sur les chemins des réponses à ces questions, l’orateur nous a servi de guide ! Les outils mathématiques : équations aux dérivées partielles, méthode des éléments finis, analyse spectrale des opérateurs mécaniques linéaires (masse, rigidité).

Mais ce n’est pas fini : traiter de la question simplement de façon idéale serait ignorer les vicissitudes de la réalité : il y a des incertitudes dans la connaissance des caractéristiques de la structure. De plus, on ne mesure pas exactement les sollicitations : au mieux, dispose-t-on à leur sujet de connaissances statistiques. Comment peut-on alors analyser le comportement dynamique vraisemblable du pont ?

Dans la deuxième partie, Pierre Bernard nous a brossé un tableau des outils mathématiques qui interviennent ici. Il s’agit alors d’étudier plus spécifiquement le problème inverse de celui traité par le premier orateur : à partir de mesures partielles effectuées à l’aide de capteurs placés sur la structure, il convient de définir un système d’alarme en cas d’endommagement ! Une méthode à l’analyse de laquelle les deux auteurs ont apporté une contribution personnelle, la méthode du décrément aléatoire, a été esquissée.

La nécessité de telles études nous a été présentée par projection d’une vidéo montrant l’effondrement du pont de Tacoma aux Etats-Unis en juillet 1940 (voir Canal-U). Gageons qu’à leur retour, les congressistes du Sud de la France empruntant à nouveau le viaduc de Millau ont dû repenser à cette conférence en se félicitant de l’activité actuelle des mathématiciens.

Paul Louis Hennequin