Algèbre et géométrie

Véritable porte d’entrée sur l’infini, le raisonnement par récurrence a été formalisé comme principe fondamental de raisonnement par Pascal, et surtout par Peano et ses collaborateurs et avait été anticipé comme mode de démonstration par les mathématiciens anciens (nombres latéraux et diagonaux), médiévaux (al-Karaji, As-Samaw’al, Fibonacci) et renaissants (Maurolico).

Des propriétés arithmétiques du Triangle de Pascal étaient présentes dans les travaux combinatoires des mathématiques indiennes et chinoises. La combinatoire était un objet de prédilection des récréations mathématiques dès l’Antiquité et est encore présente chez des arithméticiens du XIXe siècle (Lucas, Delannoy, Laisant). Il est par ailleurs pertinent de souligner le développement récent des « mathématiques discrètes », motivé notamment par l’informatique et l’intelligence artificielle.

Les concepts sous-jacents à la notion de vecteur apparaissent comme modèles physiques dynamiques longtemps avant leur formalisation. On trouve un concept de force et la composition des forces chez Newton ; ces notions, comme celles de vitesse, sont présentes dans le calcul géométrique de Leibniz. Au XIX^e siècle, la notion de vecteur va émerger comme objet algébrique et géométrique, comme transformation ou comme outil de repérage. Hamilton construit les vecteurs par une approche algébrique.

Dans sa théorie des forces et des marées de 1839, Grassmann propose une approche géométrique qui étend à l’espace la notion de vecteur et lui associe des règles de calcul algébrique, notamment un « produit linéaire » utilisant la projection orthogonale et qui deviendra notre produit scalaire. À la fin du siècle, des auteurs proches des mathématiques comme de la physique (Maxwell, Gibbs, Heaviside ou Peano) dégagent les principes du calcul vectoriel à trois dimensions ou plus, lui donnant une dimension dynamique tout en établissant la structure d’espace vectoriel.

• Travaux interdisciplinaires : mathématiques et philosophie, sciences physiques et philosophie, en classes terminales scientifiques
  • Auteur
    IREM de Poitiers
  • La Fiche Publimath
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  • Points du programme abordés
    Démonstration par récurrence

• Interdisciplinarité mathématiques et philosophie. Un exemple : le raisonnement par récurrence
  Repères-IREM. N° 18. p. 85-103
  • Auteurs
    Dominique Gaud, Claude Chrétien
  • La Fiche Publimath
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  • Points du programme abordés
    Démonstration par récurrence

Analyse

Le calcul infinitésimal, qui contient les fonctions usuelles, le calcul différentiel et intégral ont historiquement précédé la notion de limite qui en donnera des fondements rigoureux.

On trouve des anticipations du calcul intégral chez Archimède (longueur du cercle, quadrature de la parabole, cubature des solides), Liu-Hui (volume d’un cylindre), Ibn al-Haytham (volume d’un paraboloïde) puis, bien plus tard, chez Grégoire de Saint-Vincent (méthode d’exhaustion) ou encore chez Galilée ou Cavalieri (méthode des indivisibles).

Les procédés par lesquels les mathématiciens ont construit et tabulé le logarithme et les fonctions trigonométriques illustrent les liens entre discret et continu et fournissent une source féconde d’activités. On peut mentionner les méthodes de Ptolémée et d’Al Kashi, la méthode de Briggs ou l’utilisation de développements en série. Ces travaux, dont certains ont été anticipés hors d’Europe, par exemple en Inde par l’école du Kerala, indiquent une perception intuitive claire des questions de convergence.

Le calcul différentiel s’est développé de concert avec la physique mathématique au XVII^e siècle. Parmi les initiateurs, Fermat, Huygens, Pascal et Barrow reconnaissent que le problème des aires (le calcul intégral) est le problème inverse de celui des tangentes (la dérivation) ; ce thème peut être abordé à partir des travaux sur la quadrature de l’hyperbole.

Les travaux de Newton et Leibniz révèlent deux visions et deux pratiques différentes du calcul infinitésimal. La justification de telles méthodes nécessitait une mise au point de la notion de limite. Des fondations solides sont proposées dans le Cours d’Analyse de Cauchy (1821, 1823), qui définit précisément la notion de limites et en fait le point de départ de l’analyse. Parallèlement, les résolutions d’équations différentielles, provenant de la mécanique ou des mathématiques elles-mêmes, se structurent notamment en lien avec les séries (Newton, Euler, D’Alembert, Lagrange, Cauchy, Clairaut, Riccati) et illustrent là encore les ponts entre le discret et le continu.

• Algorithmes de calculs chez Archimède
  Histoire et épistémologie des mathématiques : les mathématiques dans la culture d’une époque. Étude de « La mesure du cercle » p. 132-142
  • Auteure
    Martine Bühler
  • La Fiche Publimath
  • Document pour la classe
    Problème pour terminale scientifique permettant d’obtenir un algorithme d’approximation de π, à partir du calcul de périmètres de polygones inscrits dans un cercle et circonscrits au cercle, accompagné de commentaires et du texte d’Archimède.
  • Points du programme abordés
    Algorithmique, suites récurrentes, convergence.
  • Autre version
    Ce problème, rédigé de façon plus complète, avec également des commentaires plus fournis sur son utilisation en classe, se trouve également dans la brochure M. : A.T.H. n°79 de l’IREM de Paris pages 46 – 57
    La fiche publimath

• Introduction de la notion de logarithmes en terminale S
  • Auteur
    Louis-Marie Bonneval
  • Document pour la classe
    Fiche d’activité pour les élèves pour comprendre la propriété fondamentale des logarithmes à partir d’une table et déduire les autres propriétés algébriques
  • Points du programme abordés
    Logarithme népérien, propriétés algébrique du logarithme

• Introduction de la notion d’intégrales en terminale S
  • Auteur
    Louis-Marie Bonneval
  • Document pour la classe
    Fiche d’activité pour les élèves autour de la quadrature de la parabole
  • Points du programme abordés
    Aire sous une courbe, sommes et limites de suites, intégrale d’une fonction

• Conférence sur les équations différentielles
  • Auteur
    Dominique Tournès
  • Document pour le/la prof avec des pistes pour la classe
    De nombreuses méthodes de construction graphique des courbes intégrales des équations différentielles ont été imaginées depuis le XVII^e siècle, que ce soit par les fondateurs du calcul infinitésimal devant étudier et légitimer de nouvelles courbes transcendantes, ou par les ingénieurs de la période 1850 — 1950 confrontés aux énormes besoins en calcul engendrés par le développement des réseaux de routes, de voies ferrées, d’électricité et de téléphone.
    L’auteur présente ces méthodes, leur origine historique et les instruments qui ont été conçus pour leur mise en œuvre, puis montre des applications possibles à l’enseignement, expérimentées dans des classes de lycée depuis plusieurs années.
  • Points du programme abordés
    Equations différentielles, méthode d’Euler

Probabilités

La parution de l’Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli (1713), reprenant notamment d’anciens travaux de Huygens, marque une rupture dans l’histoire des probabilités. On y trouve la première étude de la distribution binomiale, introduite dans le cadre d’un tirage sans remise pour un modèle d’urne.

Un résultat majeur de cet ouvrage de Jacques Bernoulli est son « théorème d’or », la loi des grands nombres, qui relie fréquences et probabilité, valide le principe de l’échantillonnage et est le premier exemple de « théorème limite » en théorie des probabilités. Le mathématicien français Bienaymé (en 1853, publication en 1867) et le mathématicien russe Tchebychev (en 1867) démontrent l’inégalité qui porte leur nom, en parlant de fréquences d’échantillons plutôt que de variables aléatoires. Ils fournissent ainsi la possibilité d’une démonstration plus simple de la loi des grands nombres.

Au début du XIX^e siècle, la modélisation des erreurs de mesure va devenir centrale pour faire de la statistique une science à part entière. Lagrange et Laplace développent une approche probabiliste de la théorie des erreurs. Gauss (1809, 1821), après Legendre (1805), imagine une méthode des moindres carrés qu’il applique avec succès à la prédiction de la position d’un astéroïde. Il y propose de comprendre l’écart-type comme une « erreur moyenne à craindre ».

L’introduction de méthodes statistiques en sociologie est l’œuvre du mathématicien et astronome belge Quételet dans les années 1830. Il réfléchit à la distribution de données autour de la moyenne, ce qui sera approfondi notamment par l’Anglais Galton.

• Mnémosyne n°20
  • Auteurs
    IREM de Paris, groupe M.:A.T.H.
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Algorithmique et programmation

De nombreux textes témoignent d’une préoccupation algorithmique au long de l’Histoire. Lorsqu’un texte historique a une visée algorithmique, transformer les méthodes qu’il présente en un algorithme, voire en un programme, ou inversement, est l’occasion de travailler des changements de registre qui donnent du sens au formalisme mathématique.

• Histoire d’algorithmes : du caillou à la puce
  • Auteur
    Jean-Luc Chabert Dir.
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  • Points du programme abordés
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Nombres complexes

L’algèbre s’est longtemps identifiée à l’étude des équations polynomiales. La recherche de formules pour les racines analogues à celles du second degré a constitué un problème central chez les mathématiciens italiens de la Renaissance, notamment Tartaglia, Cardan, Bombelli, ou encore chez Descartes ou Girard, chez qui on voit apparaître des quantités complexes sous forme symboliques. Ces textes révèlent l’importance des notations en mathématiques ; ils soulignent la différence entre formules de résolution symbolique et méthodes d’approximation. Ils montrent aussi que la découverte de nouveaux objets mathématiques ne passe pas par les chemins qui semblent rétrospectivement les plus directs.
La réalisation géométrique des nombres complexes apparaît plus tard chez Gauss, Argand
ou Mourey, où l’on trouve un lien entre les nombres complexes et la tentative de formaliser
ce qui deviendra les vecteurs. Une illustration de l’efficacité de ce lien entre calcul et
géométrie est le calcul de cos(π/5), qu’on peut mettre en perspective avec la construction du pentagone régulier dans les Éléments d’Euclide. Klein introduit, dans son programme
d’Erlangen, un point de vue sur la géométrie qui transparaît dans l’étude des similitudes
directes du plan complexe.
Les nombres complexes, introduits pour des raisons internes aux mathématiques, sont
désormais des outils importants en physique (électricité notamment) et économie (cycle de
croissance, de prix).

• Introduction aux nombres complexes en terminale S
  • Auteure
    Anne Boyé
  • Document pour la classe
    Activités élèves et lectures complémentaires
  • Points du programme abordés
    Définition des nombres complexes

• Introduction aux nombres complexes en terminale S
  • Auteure
    Martine Bühler
  • Document pour la classe
    Activités élèves et lectures complémentaires
  • Points du programme abordés
    Définition des nombres complexes

• Introduction aux nombres complexes en terminale S
  • Auteur
    Louis-Marie Bonneval
  • Document pour la classe
    Fiche d’activité pour les élèves autour de la résolution d’équation
  • Points du programme abordés
    Définition des nombres complexes

• Matériaux pour l’histoire des nombres complexes
  Brochure APMEP
  • Auteur
    Jean Itard
  • La Fiche Publimath
  • Document pour le/la prof
    Une petite brochure riche en renseignements et en textes originaux du 16^e et 17^e siècles.
  • Points du programme abordés
    Nombres complexes

• Images, Imaginaires, Imaginations — Une perspective historique pour l’introduction de nombres complexes
  commentaire
  • Auteur
    Cléro Jean-Pierre
  • La Fiche Publimath
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  • Points du programme abordés
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Arithmétique

L’arithmétique des entiers est présente chez les mathématiciens grecs, par exemple dans
les Éléments d’Euclide, chez Nicomaque de Gérase, Théon de Smyrne ou encore
Diophante, dont certains développements touchent à la combinatoire. Les aspects
algorithmiques sont présents depuis l’origine : méthodes de fausse position, algorithme
d’Euclide, algorithme d’Euclide étendu de Bachet (1612) puis Bézout (1766), applications
aux fractions continues chez Euler (1737), nombre de racines d’une équation chez Sturm
(1835).
L’histoire de la théorie des nombres, qui permet d’évoquer les travaux de Fermat, Lagrange,
Gauss, Dirichlet et de bien d’autres, fourmille de théorèmes d’énoncés simples aux preuves
difficiles, ainsi que de conjectures de formulation élémentaire mais non résolues.
Des questions issues de l’arithmétique, apparemment gratuites, ont donné lieu à des
applications spectaculaires en cryptographie ou codage. On peut noter enfin l’intérêt
historique de l’étude de nombres particuliers par exemple ceux de Fermat, Mersenne,
Carmichael ou Sophie Germain.

• Utilisation de l’histoire dans l’enseignement de l’arithmétique
  commentaire
  • Auteurs
    IREM de Paris, groupe M.:A.T.H.
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Graphes et matrices

L’histoire de cette partie combine trois thèmes très contemporains : les graphes, outils fondamentaux des mathématiques discrètes, les matrices et les chaînes de Markov. Les liens mis en évidence soulignent l’unité et l’efficacité des mathématiques.
L’histoire des graphes remonte au moins à Euler, par exemple à travers le problème des ponts de Königsberg. Des applications plus récentes en intelligence artificielle, concernant notamment les réseaux, soulignent la pertinence et l’actualité de la modélisation à l’aide de graphes et matrices.
La considération de tableaux de nombres en liaison avec les systèmes linéaires est très ancienne, mais l’introduction par Cayley des matrices comme objets de calcul représentant des transformations linéaires date du milieu du XIXe siècle, et leur importance ne sera clairement reconnue qu’au XXe siècle.
L’étude des chaînes de Markov, qui remonte au début du XXe siècle, donne une belle utilisation du formalisme matriciel.

Approche historique de la fonction logarithme

Il s’agit de montrer qu’un objet mathématique, ici la fonction logarithme népérien, peut être étudié selon divers points de vue. Le volet des contenus l’introduit comme fonction réciproque de la fonction exponentielle, étudiée en classe de première. Le thème décrit comment elle a été introduite historiquement, avec ses deux aspects fondamentaux : équation fonctionnelle, quadrature de l’hyperbole.

• Logarithmes : diversité de points de vue
  • Auteurs
    IREM de Paris, groupe M.:A.T.H.
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  • Points du programme abordés
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Calculs d’aire

Des calculs d’aires menés selon différentes méthodes permettent d’aboutir à l’introduction de l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle [a,b] de ℝ en montrant alors la puissance de calcul qu’apporte dans ce domaine la détermination des primitives. Différentes approches sont possibles : méthodes historiques d’approximation des aires, méthode des rectangles et des trapèzes pour l’aire sous une courbe, méthodes probabilistes et bien sûr le calcul intégral.